放物線・楕円・双曲線という3種類の2次曲線の式とグラフを学習してきましたね。前回の授業に続いて，与えられた情報をもとに，2次曲線の式を決定する問題に取り組んでいきます。

頂点の座標と漸近線の式をもとに，双曲線の方程式を求める問題ですね。

まずは，双曲線の方程式が2パターンで表されることを思い出しましょう。
(x²/a²)-(y²/b²)=±1
であり，①焦点がx軸上にあるときは，左右に分かれた双曲線で 方程式の右辺が「=1」 ，②焦点がy軸上にあるときは，上下に分かれた双曲線で 方程式の右辺が「=-1」 でした。今回の問題で求める双曲線が①②のどちらのパターンになるかわかりますか？

重要になるのは，問題文の 「頂点の座標が(1,0),(-1,0)」 という部分です。頂点が左右に分かれるのは，①焦点がx軸上にあるタイプですね。

したがって，双曲線：(x²/a²)-(y²/b²)=1のように， 方程式の右辺が「=1」 の形で式をおくことができます。

では，求める式を双曲線：(x²/a²)-(y²/b²)=1とおいて，a,bの値を求めていきます。

まず，頂点の座標が(±1,0)より，a=1とわかりますね。次に，漸近線y=±2xに注目しましょう。双曲線：(x²/a²)-(y²/b²)=1における漸近線はy=±(b/a)xであるので，
2=b/a
a=1より，b=2とわかりました。

よって，求める式は，
x²-(y²/4)=1
です。

最後に焦点の座標を求めましょう。双曲線：(x²/a²)-(y²/b²)=1において，焦点F(c,0),F'(-c,0)とすると， c²=a²+b² が成り立ちました。

a²=1,b²=4なので，
c²=1+4=5
となり，c=√5です。 焦点F(√5,0),F'(-√5,0) と求められますね。