高校数学Ⅲ

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5分で解ける!2次曲線の決定(2)に関する問題

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5分で解ける!2次曲線の決定(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
2次曲線の決定(2)

式と曲線13 問題 すべて

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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放物線・楕円・双曲線という3種類の2次曲線の式とグラフを学習してきましたね。前回の授業に続いて,与えられた情報をもとに,2次曲線の式を決定する問題に取り組んでいきます。

双曲線の方程式は2パターン

式と曲線13 問題 すべて

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頂点の座標漸近線の式をもとに,双曲線の方程式を求める問題ですね。

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まずは,双曲線の方程式が2パターンで表されることを思い出しましょう。
(x2/a2)-(y2/b2)=±1
であり,①焦点がx軸上にあるときは,左右に分かれた双曲線方程式の右辺が「=1」②焦点がy軸上にあるときは,上下に分かれた双曲線方程式の右辺が「=-1」 でした。今回の問題で求める双曲線が①②のどちらのパターンになるかわかりますか?

頂点の座標に注目!

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重要になるのは,問題文の 「頂点の座標が(1,0),(-1,0)」 という部分です。頂点が左右に分かれるのは,①焦点がx軸上にあるタイプですね。

式と曲線13 ポイントの図のみ

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したがって,双曲線:(x2/a2)-(y2/b2)=1のように, 方程式の右辺が「=1」 の形で式をおくことができます。

POINT
式と曲線13 ポイント すべて

「頂点」と「漸近線」からa,bの値を求める

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では,求める式を双曲線:(x2/a2)-(y2/b2)=1とおいて,a,bの値を求めていきます。

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まず,頂点の座標が(±1,0)より,a=1とわかりますね。次に,漸近線y=±2xに注目しましょう。双曲線:(x2/a2)-(y2/b2)=1における漸近線はy=±(b/a)xであるので,
2=b/a
a=1より,b=2とわかりました。

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よって,求める式は,
x2-(y2/4)=1
です。

「c2=a2+b2」から焦点を求める

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最後に焦点の座標を求めましょう。双曲線:(x2/a2)-(y2/b2)=1において,焦点F(c,0),F'(-c,0)とすると, c2=a2+b2 が成り立ちました。

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a2=1,b2=4なので,
c2=1+4=5
となり,c=√5です。 焦点F(√5,0),F'(-√5,0) と求められますね。

答え
式と曲線13 問題 解答 図も含むすべて
2次曲線の決定(2)
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