高校数学Ⅲ

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5分でわかる!放物線の方程式(2)

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5分でわかる!放物線の方程式(2)

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この動画の要点まとめ

ポイント

放物線の方程式(2)

式と曲線2のポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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前回の授業では,焦点F(p,0),準線ℓ:x=-pとする(p≠0)とき,Fとℓからの距離が等しい点P(x,y)の軌跡放物線:y2=4pxとなることを学習しました。

POINT
式と曲線1のポイント
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この放物線は,焦点Fがx軸上にあるのでしたね。これに対して,今回の授業では焦点Fがy軸上にある放物線の式について解説します。

焦点はF(0,p) 準線はℓ:x=-p

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放物線の定義は,焦点Fと準線ℓからの距離が等しい点P(x,y)の軌跡です。今回は,焦点F(0,p),準線ℓ:y=-pとする(p≠0)とき,Fとℓからの距離が等しい点P(x,y)の軌跡を式で表してみましょう。

POINT
式と曲線2のポイント 最後の1行をのぞく
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点Pから直線ℓに引いた垂線の足をHとすると,定義からPH=PFとなりますね。PH=PFを計算すると,最終的に x2=4py が導けます。これが焦点F(0,p),準線ℓ:y=-pとする放物線の方程式となるのですね。上の図では,原点(0,0)が頂点となっています。

y=(1/4p)x2の2次関数

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放物線の方程式:x2=4pyから y=(1/4p)x2 と式変形できますね。数学Ⅰで学習した2次関数の式の形になります。

POINT
式と曲線2のポイント
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焦点Fがy軸上にある放物線の式x2=4py であること,グラフを描くときは y=(1/4p)x2 と式変形することをおさえておきましょう。

「Fとℓからの距離が等しい」を式で表すと……

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ちなみに,PH=PFから x2=4py を導くまでの計算式は次のようになります。計算過程についても確認しておきましょう。

放物線の方程式x^2=4pyの導出

PH=PFより,

√{x2+(y-p)2}=|y+p|

両辺を2乗して,

x2+(y-p)2=(y+p)2

これを整理して,

x2=4py

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

放物線の方程式(2)
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      式と曲線

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          2次曲線

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