高校数学Ⅲ
5分でわかる!放物線の方程式(1)
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この動画の要点まとめ
ポイント
放物線の方程式(1)
これでわかる!
ポイントの解説授業
放物線の定義とは?
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みなさんがよく知っている放物線は,数学Ⅰで学習した2次関数の放物線ですね。例えば,y=x2は,頂点が原点(0,0),軸がx=0の,下に凸な放物線になります。
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数学Ⅲで学習する放物線は,このような放物線ばかりではありません。放物線の定義は,定直線ℓと,ℓ上にない定点Fからの距離が等しい点P(x,y)の軌跡です。例えば,定直線ℓ:x=-p,定点F(p,0)とする(p≠0)と,次のような放物線が描けます。
放物線の方程式は?
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定直線ℓ:x=-p,定点F(p,0)とする(p≠0)とき,Fとℓからの距離が等しい点P(x,y)の軌跡はどのような式で表せるでしょうか?ポイントを確認しましょう。
POINT
![式と曲線1のポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/2_1_1_1/k_mat_3_2_1_1_1_image01.png)
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点Pから直線ℓに引いた垂線の足をHとすると,定義からPH=PFとなりますね。PH=PFを計算すると,最終的に y2=4px が導けます。これが放物線の方程式となるのですね。さらに,定点F(p,0)を放物線の焦点といい,定直線ℓ:x=-pを放物線の準線と呼びます。また,上の図では,原点(0,0)が頂点となっていますね。
POINT
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焦点Fがx軸上にある放物線の式は y2=4px であることをおさえておきましょう。
「Fとℓからの距離が等しい」を式で表すと……
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ちなみに,PH=PFから y2=4px を導くまでの計算式は次のようになります。計算過程についても確認しておきましょう。
放物線の方程式y^2=4pxの導出
PH=PFより,
√{(x-p)2+y2}=|x+p|
両辺を2乗して,
(x-p)2+y2=(x+p)2
これを整理して,
y2=4px
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数学Ⅲの第2章は 「式と曲線」 です。xとyの2次式で表された曲線である2次曲線のうち,この章では放物線・楕円・双曲線という3種類について学習します。まずは放物線の方程式について解説していきましょう。