高校数学Ⅲ

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5分でわかる!放物線の方程式(1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

放物線の方程式(1)

式と曲線1のポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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数学Ⅲの第2章は 「式と曲線」 です。xとyの2次式で表された曲線である2次曲線のうち,この章では放物線・楕円・双曲線という3種類について学習します。まずは放物線の方程式について解説していきましょう。

放物線の定義とは?

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みなさんがよく知っている放物線は,数学Ⅰで学習した2次関数の放物線ですね。例えば,y=x2は,頂点が原点(0,0),軸がx=0の,下に凸な放物線になります。

数Ⅰ 2次関数の流用 フォルダ内に同封済み

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数学Ⅲで学習する放物線は,このような放物線ばかりではありません。放物線の定義は,定直線ℓと,ℓ上にない定点Fからの距離が等しい点P(x,y)の軌跡です。例えば,定直線ℓ:x=-p,定点F(p,0)とする(p≠0)と,次のような放物線が描けます。

式と曲線1のポイント 図のみ

放物線の方程式は?

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定直線ℓ:x=-p,定点F(p,0)とする(p≠0)とき,Fとℓからの距離が等しい点P(x,y)の軌跡はどのような式で表せるでしょうか?ポイントを確認しましょう。

POINT
式と曲線1のポイント
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点Pから直線ℓに引いた垂線の足をHとすると,定義からPH=PFとなりますね。PH=PFを計算すると,最終的に y2=4px が導けます。これが放物線の方程式となるのですね。さらに,定点F(p,0)を放物線の焦点といい,定直線ℓ:x=-pを放物線の準線と呼びます。また,上の図では,原点(0,0)が頂点となっていますね。

POINT
式と曲線1のポイント
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焦点Fがx軸上にある放物線の式y2=4px であることをおさえておきましょう。

「Fとℓからの距離が等しい」を式で表すと……

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ちなみに,PH=PFから y2=4px を導くまでの計算式は次のようになります。計算過程についても確認しておきましょう。

放物線の方程式y^2=4pxの導出

PH=PFより,

√{(x-p)2+y2}=|x+p|

両辺を2乗して,

(x-p)2+y2=(x+p)2

これを整理して,

y2=4px

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

放物線の方程式(1)
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          2次曲線

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