高校数学Ⅲ

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5分でわかる!楕円のグラフ(1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

楕円のグラフ(1)

式と曲線6 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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みなさんはこれまでに,2パターンの楕円の方程式を学習してきましたね。①2つの焦点がx軸上にある楕円②2つの焦点がy軸上にある楕円です。a>c>0とするとき,それぞれの方程式は次のように表されました。
①焦点F(c,0),F'(-c,0)からの距離の和が2aのとき,
楕円:(x2/a2)+(y2/a2-c2)=1
②焦点F(0,c),F'(0,-c)からの距離の和が2aのとき,
楕円:(x2/a2-c2)+(y2/a2)=1
x2の分母の数の方が大きいと①の楕円,y2の分母の数の方が大きいと②の楕円となります。

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①②の方程式をもとに楕円のグラフを描くときには,一体どこに注目すればよいでしょうか?

x2とy2の「分母の数」を比較

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2パターンの楕円の方程式は,いずれも分母が2乗の形になっています。今後は,2つの定数a,bを用いて,
楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1
と,まとめて表すことにしましょう。

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楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1
の式からグラフを描くとき,まず注目してほしいのは x2とy2の「分母の数」の大小 です。 x2の「分母の数」の方が大きい とき, a2>b2 からa>bとなりますね。このときの楕円は,横に長い楕円のグラフとなります。

POINT
式と曲線6 ポイント 見出しとその下の1行分 「aの方が長い」も入れる

x軸,y軸との交点は?

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a>b>0である楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1のグラフは横長だということがわかりました。グラフを描くには,次にx軸とy軸との交点を求めます。

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楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1の式より,
x=0のときy=±b,y=0のときx=±aであることがわかりますね。したがって,次のような楕円のグラフが描けるのです。

式と曲線6 ポイント 図 点F,F'とc,-cをカット

焦点F(c,0),F'(-c,0)の求め方は?

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さらに,楕円の2つの焦点の座標も求められるようにしておきましょう。焦点F(c,0),F'(-c,0)とすると,楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1の式から,次のようにしてcの値が求められます。

POINT
式と曲線6 ポイント
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x2とy2の「分母の数」の差c2 となるのですね。つまり,
c2=a2-b2
であり, c=±√(a2-b2) です。

POINT
式と曲線6 ポイント
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ポイントのうち,必ずおさえておきたいのは,a>b>0のとき,楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1のグラフは横長であるということ。a>b>0という大小関係が重要です。さらに, c2=a2-b2 から焦点の座標を求められるようにしましょう。

楕円の「長軸」と「短軸」

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最後になりましたが,楕円の 「長軸」「短軸」 という用語についても解説します。楕円の端と端を結ぶ線分のうち,一番長い線分長軸一番短い線分短軸といいます。下の楕円のグラフでは,(長軸の長さ)=2a,(短軸の長さ)=2bとなりますね。

式と曲線6 ポイント 図 点F,F'とc,-cをカット

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

楕円のグラフ(1)
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      式と曲線

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          2次曲線

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