高校数学Ⅲ

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5分で解ける!2次曲線と直線(1)に関する問題

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5分で解ける!2次曲線と直線(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
2次曲線と直線(1)

式と曲線17 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業

楕円と直線の共有点は3パターン

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楕円Cと直線ℓとの共有点の個数を調べる問題です。問題を解き始める前に,楕円と直線のラフ図を描くなどして,想像してみてください。 ①2点で交わる(共有点2個)②1点で接する(共有点1個)③まったく交わらない(共有点0個) の3パターンがありますよね。

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この問題では,直線ℓ:y=x+kとなっています。kの値によって,①②③のどのパターンになるか分かれてくるのですね。

「共有点の個数」は「実数解の個数」

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では,①②③のどのパターンになるかをどう調べていけばよいでしょうか?ポイントは次の通りです。

POINT
式と曲線17 ポイント
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手順1
まず,楕円Cと直線ℓの式を連立して,2次方程式をつくります。
手順2
できた2次方程式について,判別式を利用して実数解の個数を調べます。この実数解の個数が,共有点の個数に一致するのです。

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数学Ⅱ「図形と方程式」で学習した「円と直線の共有点の個数」の調べ方とまったく同じですね。2つのグラフの共有点の座標が,式を連立したときの方程式の実数解となることから得られるポイントです。

式を連立して,2次方程式をつくる

式と曲線17 問題

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実際に計算を行っていきましょう。楕円Cと直線ℓの式を連立して,
x2+4(x+k)2=20
5x2+8kx+4k2-20=0……(※)
xの2次方程式ができあがりました。方程式(※)の実数解2つのグラフの共有点のx座標となります。したがって,方程式(※)の実数解の個数を求めれば,2つのグラフの共有点の個数と一致しますね。

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方程式(※)の判別式をDとすると,
㋐ D>0ならば,(※)の実数解は2個
㋑ D=0ならば,(※)の実数解は1個
㋒ D<0ならば,(※)の実数解は0個
と場合分けして求めることができます。(※)の式は,5x2+8kx+4k2-20=0であり,xの係数が2の倍数になっているので,判別式を(D/4)として次のように答えを求めていきましょう。

答え
式と曲線17 問題 答え
2次曲線と直線(1)
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      式と曲線

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