高校数学Ⅲ
5分でわかる!楕円の方程式(2)
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この動画の要点まとめ
ポイント
楕円の方程式(2)
これでわかる!
ポイントの解説授業
POINT
![式と曲線4 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/2_1_5_1/k_mat_3_2_1_4_1_image01.png)
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この楕円は,2つの焦点F,F'がx軸上にあるのでしたね。これに対して,今回の授業では2つの焦点F,F'がy軸上にある楕円の式について解説します。
2つの焦点はF(0,c),F'(0,-c)
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楕円の定義は,2つの焦点F,F'からの距離の和が一定となる点P(x,y)の軌跡です。今回は,a>c>0とするとき,焦点F(0,c),(0,-c)からの距離の和が2aとなる点P(x,y)の軌跡を式で表してみましょう。
POINT
![式と曲線5 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/2_1_5_1/k_mat_3_2_1_5_1_image01.png)
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定義からPF+PF'=2aとなり,x,yを代入して計算すると,最終的に楕円:(x2/a2-c2)+(y2/a2)=1が導けます。上の図では,原点(0,0)が楕円の中心となっています。
焦点がy軸上にある楕円は縦長になる
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2つの焦点がx軸上にある楕円とy軸上にある楕円の違いをおさえましょう。2つの焦点がx軸上にある楕円は横長となりましたが,y軸上にある楕円は縦長になります。また,x軸上にある楕円の方程式は x2の分母がa2 , x2の分母がa2-c2 でしたが,x軸上にある楕円の方程式では入れ替わり, x2の分母がa2-c2 , x2の分母がa2 となります。
POINT
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焦点・距離の和と楕円の方程式の関係をしっかりおさえておきましょう。
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前回の授業では,a>c>0とするとき,焦点F(c,0),F'(-c,0)からの距離の和が2aとなる点P(x,y)の軌跡が楕円:(x2/a2)+(y2/a2-c2)=1となることを学習しました。