高校数学Ⅲ

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5分でわかる!楕円の方程式(2)

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この動画の要点まとめ

ポイント

楕円の方程式(2)

式と曲線5 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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前回の授業では,a>c>0とするとき,焦点F(c,0),F'(-c,0)からの距離の和が2aとなる点P(x,y)の軌跡が楕円:(x2/a2)+(y2/a2-c2)=1となることを学習しました。

POINT
式と曲線4 ポイント
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この楕円は,2つの焦点F,F'がx軸上にあるのでしたね。これに対して,今回の授業では2つの焦点F,F'がy軸上にある楕円の式について解説します。

2つの焦点はF(0,c),F'(0,-c)

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楕円の定義は,2つの焦点F,F'からの距離の和が一定となる点P(x,y)の軌跡です。今回は,a>c>0とするとき,焦点F(0,c),(0,-c)からの距離の和が2aとなる点P(x,y)の軌跡を式で表してみましょう。

POINT
式と曲線5 ポイント
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定義からPF+PF'=2aとなり,x,yを代入して計算すると,最終的に楕円:(x2/a2-c2)+(y2/a2)=1が導けます。上の図では,原点(0,0)が楕円の中心となっています。

焦点がy軸上にある楕円は縦長になる

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2つの焦点がx軸上にある楕円y軸上にある楕円の違いをおさえましょう。2つの焦点がx軸上にある楕円横長となりましたが,y軸上にある楕円縦長になります。また,x軸上にある楕円の方程式x2の分母がa2x2の分母がa2-c2 でしたが,x軸上にある楕円の方程式では入れ替わり, x2の分母がa2-c2x2の分母がa2 となります。

POINT
式と曲線5 ポイント
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焦点・距離の和と楕円の方程式の関係をしっかりおさえておきましょう。

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

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