高校数学Ⅲ

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5分で解ける!双曲線のグラフ(2)に関する問題

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5分で解ける!双曲線のグラフ(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

式と曲線11 問題1

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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双曲線の方程式を手掛かりにして,グラフを描き,焦点の座標を求める問題です。方程式が (x2/a2)-(y2/b2)=-1 の形であるとき,y2の係数がマイナス方程式の右辺が「=-1」 であることから,上下に分かれた双曲線がイメージできますね。グラフを描くときに必要となる漸近線は,y=±(b/a)xで求められました。

POINT
式と曲線11 ポイント
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双曲線は,漸近線y=±(b/a)xにどんどん近づくように描きましょう。また, 焦点の座標(0,±c) は, c2=a2+b2 の関係式から求められます。

a,bの値から「漸近線」と「頂点」を求める

式と曲線11 問題1

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双曲線:(x2/9)-(y2/4)=-1は,y2の係数がマイナス方程式の右辺が「=-1」 であることから,上下に分かれた双曲線がイメージできますね。

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(x2/a2)-(y2/b2)=1 の式におけるa,bの値は,a2=9,b2=4からa=3,b=2とわかります。これらを漸近線y=±(b/a)xに代入すると,漸近線はy=±(2/3)xとなりますね。また, 頂点(0,±b) より2つの 頂点は(0,±2) です。

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これらの情報をもとにグラフを描いていきましょう。xy平面において, 点(0,±2) を打ち込み,y=±(2/3)xの直線を記します。 頂点を(0,±2) とする上下に分かれた双曲線を,漸近線y=±(2/3)xに近づけるように描くと答えになります。

式と曲線11 問題1 てがき図のみ

「c2=a2+b2」から焦点を求める

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最後に焦点の座標を求めましょう。双曲線:(x2/a2)-(y2/b2)=-1において,焦点F(0,c),F'(0,-c)とすると, c2=a2+b2 が成り立ちました。

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a=3,b=2なので,
c2=32+22=13
となり,c=√13です。 焦点F(0,√13),F'(0,-√13) と求められますね。

答え
式と曲線11 問題1 解答 図も含むすべて
双曲線のグラフ(2)
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      式と曲線

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