高校数学Ⅲ

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5分で解ける!双曲線のグラフ(1)に関する問題

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5分で解ける!双曲線のグラフ(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

式と曲線10 問題1

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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双曲線の方程式を手掛かりにして,グラフを描き,焦点の座標を求める問題です。方程式が (x2/a2)-(y2/b2)=1 の形であるとき,y2の係数がマイナス方程式の右辺が「=1」 であることから,左右に分かれた双曲線がイメージできますね。グラフを描くときに必要となる漸近線は,y=±(b/a)xで求められました。

POINT
式と曲線10 ポイント
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双曲線は,漸近線y=±(b/a)xにどんどん近づくように描きましょう。また, 焦点の座標(±c,0) は, c2=a2+b2 の関係式から求められます。

a,bの値から「漸近線」と「頂点」を求める

式と曲線10 問題1

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双曲線:x2-y2=1は,y2の係数がマイナス方程式の右辺が「=1」 であることから,左右に分かれた双曲線がイメージできますね。

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(x2/a2)-(y2/b2)=1 の式におけるa,bの値は,a2=1,b2=1からa=1,b=1とわかります。これらを漸近線y=±(b/a)xに代入すると,漸近線はy=±xとなりますね。また, 頂点(±a,0)より2つの頂点は(±1,0) です。

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これらの情報をもとにグラフを描いていきましょう。xy平面において, 点(±1,0) を打ち込み,y=±xの直線を記します。 頂点を(±1,0) とする左右に分かれた双曲線を,漸近線y=±xに近づけるように描くと答えになります。

式と曲線10 問題1 てがき図のみ

「c2=a2+b2」から焦点を求める

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最後に焦点の座標を求めましょう。双曲線:(x2/a2)-(y2/b2)=1において,焦点F(c,0),F'(-c,0)とすると, c2=a2+b2 が成り立ちました。

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a=1,b=1なので,
c2=12+12=2
となり,c=√2です。 焦点F(√2,0),F'(-√2,0) と求められますね。

答え
式と曲線10 問題1 解答 図も含むすべて
双曲線のグラフ(1)
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      式と曲線

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