高校数学Ⅲ

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5分で解ける!楕円のグラフ(2)に関する問題

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5分で解ける!楕円のグラフ(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

式と曲線7 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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楕円の方程式を手掛かりにして,グラフを描き,焦点の座標を求める問題です。b>a>0のとき,楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1のグラフは縦長になりましたね。

POINT
式と曲線7 ポイント 修正アリ
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b>a>0ならば縦長の楕円a>b>0ならば横長の楕円でした。さらに,c2=b2-a2から焦点の座標を求めることができます。

x2とy2の「分母の数」を比較

式と曲線7 問題2

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まずは,楕円のグラフが横長なのか縦長なのかを判断しましょう。注目するのは, x2とy2の「分母の数」 です。 (x2の分母の数4)<(y2の分母の数5) であることから,縦に長い楕円であることがわかります。

式と曲線7 問題2 てがき図 1,-1,√2,-√2をカット

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次にx軸とy軸との交点を求めます。 楕円C:(x2/22)+{y2/(√5)2}=1の式より,x=0のときy=±√5,y=0のときx=±2であることがわかりますね。したがって,次のような楕円のグラフが描けるのです。

式と曲線7 問題2 てがき図のみ

「c2=b2-a2」から焦点を求める

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さらに焦点の座標を求めましょう。縦長の楕円:(x2/a2)+(y2/b2)=1において,焦点F(0,c),F'(0,-c)とすると, c2=b2-a2 が成り立ちました。

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楕円C:(x2/22)+{y2/(√5)2}=1の式より,a=2,b=√5なので,
c2=(√5)2-22=1
となり,c=1です。 焦点F(0,1),F'(0,-1) と求められますね。

答え
式と曲線7 問題2 解答 図も含むすべて
楕円のグラフ(2)
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