高校数学Ⅲ

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5分で解ける!第2次導関数と極値に関する問題

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5分で解ける!第2次導関数と極値に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

微分法の応用22 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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f(x)=x+2cosx (0≦x≦π)の極値を求める問題です。f'(x)=0の解を求め,第二次導関数を使って極大値・極小値を判定しましょう。

POINT
微分法の応用22 ポイント
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「f'(α)=0かつf''(α)>0」ならば「f(α)は極小値」「f'(β)=0かつf''(β)<0」ならば「f(β)は極大値」 だと判定できます。

f'(x)=0の解を求める

微分法の応用22 問題2

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まずは,f'(x)=0の解を求めます。
f'(x)=1-2sinx=0
より,sinx=(1/2)です。0<x<πでは,
x=(π/6),(5π/6)
とわかりました。ただし, x=(π/6),(5π/6) で極大値・極小値をとるかはまだわかりません。

f''(π/6),f''(5π/6)の符号を見る

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極大値・極小値を判定するために,f''(x)の符号を見ましょう。
f''(x)=(1-2sinx)'=-2cosx

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x=(π/6) のとき,
f''(π/6) =-2cos(π/6)=-√3 <0
つまり,f(π/6)で極大となり,その値は,
f(π/6)=(π/6)+2cos(π/6)= (π/6)+√3
です。

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x=(5π/6) のとき,
f''(5π/6) =-2cos(5π/6)=√3 >0
つまり,f(5π/6)で極小となり,その値は,
f(5π/6)=(5π/6)+2cos(5π/6)= (π/6)-√3
です。

答え
微分法の応用22 問題2 答え
第2次導関数と極値
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