高校数学Ⅲ
5分で解ける!第2次導関数と極値に関する問題
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問題の解説授業
POINT
![微分法の応用22 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/6_1_22_3/k_mat_3_6_1_22_1_image01.png)
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「f'(α)=0かつf''(α)>0」ならば「f(α)は極小値」,「f'(β)=0かつf''(β)<0」ならば「f(β)は極大値」 だと判定できます。
f'(x)=0の解を求める
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まずは,f'(x)=0の解を求めます。
f'(x)=1-2sinx=0
より,sinx=(1/2)です。0<x<πでは,
x=(π/6),(5π/6)
とわかりました。ただし, x=(π/6),(5π/6) で極大値・極小値をとるかはまだわかりません。
f''(π/6),f''(5π/6)の符号を見る
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極大値・極小値を判定するために,f''(x)の符号を見ましょう。
f''(x)=(1-2sinx)'=-2cosx
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x=(π/6) のとき,
f''(π/6) =-2cos(π/6)=-√3 <0
つまり,f(π/6)で極大となり,その値は,
f(π/6)=(π/6)+2cos(π/6)= (π/6)+√3
です。
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x=(5π/6) のとき,
f''(5π/6) =-2cos(5π/6)=√3 >0
つまり,f(5π/6)で極小となり,その値は,
f(5π/6)=(5π/6)+2cos(5π/6)= (π/6)-√3
です。
答え
![微分法の応用22 問題2 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/6_1_22_3/k_mat_3_6_1_22_3_image02.png)
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f(x)=x+2cosx (0≦x≦π)の極値を求める問題です。f'(x)=0の解を求め,第二次導関数を使って極大値・極小値を判定しましょう。