高校数学Ⅲ

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5分で解ける!接線の方程式(3)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
接線の方程式(3)

微分法の応用3 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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y=exに点(-1,0)から引いた接線の方程式を求める問題です。
接線公式:y-f(a)=f'(a)(x-a)
は,曲線上の接点の座標がわかっているときに使える公式でした。では,曲線外の点から曲線へ接線を引く場合,どのように方程式を求めていけばよいでしょうか。ポイントを確認しましょう。

POINT
微分法の応用3 ポイント
lecturer_avatar

といっても,文字ばかりではわかりづらいですよね。今回の問題を例にして,ポイントの手順について詳しく解説します。

接点のx座標をtとおく

微分法の応用3 問題

lecturer_avatar

曲線外の点(-1,0)から,曲線y=exに引いた接線の方程式を求めます。

lecturer_avatar

私たちが知っている接線公式は,曲線上の点におけるものでしたね。 曲線外の点から接線を引く場合,すぐに傾きがわかりません。 そこで,接点のx座標をtとおいて,自分で設定しましょう。

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y'=exより,傾きet,通る1点の座標(t,et)として,接線の方程式をtで表すことができます。

微分法の応用3 答え 1~2行目 図不要

点(-1,0)の座標を代入する

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接線の方程式は,
y-et=et(x-t)
とわかりました。この直線は,曲線外の点(-1,0)を通りますね。したがって,x=-1,y=0を代入しましょう。

微分法の応用3 答え 3~4行目 図を式の右側におく

tの方程式を解けば,tの値がわかる

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方程式
0-et=et(-1-t)
において,未知数はtだけになりました。このtの方程式を解けば,tが求まり,接点のx座標がわかるわけです。

微分法の応用3 答え 3~7行目 図不要

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t=0より,接点は(0,e0),傾きはe0とわかりました。よって,求める接線ℓの方程式は,
y-e0=e0(x-0)
e0=1を代入すれば,答えが求まりますね。

答え
微分法の応用3 答え すべて
接線の方程式(3)
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