高校数学Ⅲ

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5分で解ける!接線の方程式(4)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
接線の方程式(4)

微分法の応用4 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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x,yが媒介変数tで表された曲線Cにおける接線の方程式を求める問題です。パッと見ると難しそうに見えますが,これまでに学習した知識を組み合わせていけば,簡単に解くことができます。

t=1から接点の座標がわかる!

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x=t2+t,y=t3-2tという式を見ても,曲線の形は想像できません。しかし,問題文より,接点の座標はt=1だということがわかります。x,yにt=1を代入すると,
x=12+1=2
y=13-2×1=-1
つまり, 接点の座標は(2,-1) だとわかるわけです。

接線公式に代入してみよう

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接線公式より,曲線上の点(2,-1)の接線の方程式は,
y-(-1)=(傾き)×(x-2)
と立式できます。あとは,傾きさえわかれば,答えが求まりますね。

導関数dy/dx を求める!

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傾きは,どう求めますか? 重要なのは,媒介変数で表示されていても,曲線の傾きは導関数dy/dxによって求められるということです。

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第5章の「微分法」で学習した媒介変数表示の関数の微分より,x=f(t),y=g(t)で表された曲線の導関数は,
dy/dx=g'(t)/f'(t)
ですね。いま,
f'(t)=(t2+t)'=2t+1
g'(t)=(t3-2t)'=3t2-2
であり,t=1とわかっているので,
dy/dx=g'(t)/f'(t)=(3-2)/(2+1)=1/3
と求められます。

傾き1/3,接点(2,-1)の接線の方程式

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傾き1/3,接点(2,-1)の接線の方程式は,
y-(-1)=(1/3)×(x-2)
となり,これを整理すれば答えとなります。

答え
微分法の応用4 問題

傾きを導関数dy/dxから求めるのがポイント

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この問題での一番のポイントは「傾きを導関数dy/dxから求める」ことでした。

POINT
微分法の応用4 ポイント
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「傾きは導関数dy/dxから求める」,「dy/dxは,(yをtで微分した式)/(xをtで微分した式)」という知識をつなげられるようにしておきましょう。

接線の方程式(4)
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