高校数学Ⅲ
5分で解ける!導関数の符号と関数の増減(1)に関する問題
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この動画の問題と解説
問題
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解説
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問題の解説授業
POINT
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「定義域のチェック」が重要
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まずは,導関数f'(x)を求めましょう。
f'(x)=(x-logx)'=1-(1/x)=(x-1)/x
このとき,xのとりうる値の範囲が限定されることに気付きましょう。対数関数logxの真数条件です。logxにおいて,真数xは必ず正の値をとると約束されていましたね。つまり,x>0です。f'(x)の符号を調べる前に,xの定義域をチェックする作業を忘れないようにしましょう。
f'(x)の符号から増減表を作成
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x>0のとき,f'(x)=(x-1)/xの符号を調べます。
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分母のxは必ず正の値になることから,f'(x)の符号は分子で決まります。分子のx-1は,x>1ならば正,x<1ならば負になりますね。ここまでに集めた情報をまとめると,
0<x<1のとき,f'(x)<0
x=1のとき,f'(x)=0
1<xのとき,f'(x)>0
増減表を作ると,次のようになります。
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増減表の一番上の段には,xの値を書きます。x>0なので,0からスタートし,f'(x)=0となるときのxの値1を入れています。真ん中の段には,f'(x)の符号を書きます。0<x<1のときにf'(x)は負,x=1のときにf'(x)は0,1<xのときにf'(x)は正ですね。一番下の段には,f(x)の増減を書き入れます。↗のときには増加,↘のときには減少を表します。
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さて,今回はf(x)の増減を調べるのが目的でしたね。増減表を書くだけでも問題ありませんが,次のように答えをまとめておきましょう。
答え
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f(x)=x-logxの増減を調べる問題です。関数の増減は,導関数f'(x)の符号から調べることができますね。