高校数学Ⅲ

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5分で解ける!関数の最大値・最小値(4)に関する問題

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5分で解ける!関数の最大値・最小値(4)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
関数の最大値・最小値(4)

微分法の応用17 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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f(x)=3√x2 の最大値,最小値を求める問題です。関数の最大値・最小値は,次の3つの手順にしたがって求めます。

最大値・最小値の求め方

① f'(x)を計算する

② f'(x)=0を解く

③ 増減表を書く

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最大値・最小値は,増減表の極大値・極小値と定義域の両端点におけるf(x)の値を比較して求めるのが一般的です。ただし,今回の問題では定義域が設定されていないことに注意しましょう。

f'(x)=0となるxの値がない!?

微分法の応用17 問題

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まず, ①導関数f'(x)を計算 しましょう。f(x)=(x2)(1/3)=x(2/3)より,
f'(x)=(x(2/3))'
(xのp乗)の微分公式より,
f'(x) =(2/3)(x(2/3)-1)=(2/3)(x(-1/3)) =2/(33√x)

微分法の応用17 問題 答え1~5行目

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次に, ②f'(x)=0の解 を求めます。
f'(x)=2/(33√x)=0
この式は,解を持たないことに気が付きましたか?

x=0の前後のf'(x)の符号に注目

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「f'(x)=0の解がない」⇒「極値を持たない」と考えてしまいがちですが,そうではありません。x=0の前後のf'(x)の符号に注目してみましょう。
x<0のとき,33√x<0より f'(x)<0
x>0のとき,33√x>0より f'(x)>0
x=0の前後で,導関数f'(x)の符号が変化していますね! またx=0で,f(0)=0であり,f(x)のグラフがx=0でちぎれることもありません。③増減表 を書いてみると,

微分法の応用17 問題 増減表 下の式1行分も入れる

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y=f(x)は,x=0を分岐点に下がって(↘),上がる(↗)グラフであることがわかりますね。このように, f'(x)=0の解がなくても極値をもつ ことがあります。

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さて,今回はf(x)の最大値・最小値を調べるのが目的です。xが±∞に向かうとき,f(x)の極限は∞となることから,最大値なし最小値0が答えになります。

答え
微分法の応用17 問題 答え
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今回の問題のポイントをまとめると以下のようになります。

POINT
微分法の応用17 ポイント
関数の最大値・最小値(4)
7
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