高校数学Ⅲ

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5分で解ける!関数の最大値・最小値(3)に関する問題

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5分で解ける!関数の最大値・最小値(3)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
関数の最大値・最小値(3)

微分法の応用16 問題 ※アイコンの「問題1」を「問題」に修正してください

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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f(x)=x√(4-x2) (-1≦x≦2)の最大値,最小値を求める問題です。関数の最大値・最小値は,次の3つの手順にしたがって求めます。

最大値・最小値の求め方

① f'(x)を計算する

② f'(x)=0を解く

③ 増減表を書く

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増減表の極大値・極小値と定義域の両端点におけるf(x)の値を比較して,最大値・最小値を求めていきます。

f'(x)=0となるxの値をチェック

微分法の応用16 問題 ※アイコンの「問題1」を「問題」に修正してください

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f(x)は無理関数なので,ルートの中身が0以上である必要があります。4-x2≧0つまり-2≦x≦2です。ただし,問題文で与えられた-1≦x≦2は,-2≦x≦2を満たしているので,今回は特に考慮する必要がありません。

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まず, ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)={x√(4-x2)}'
積の微分公式より,
f'(x) =(x)'√(4-x2)+x{√(4-x2)}'
これを計算すると,

微分法の応用16 問題 答え1~5行目

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次に, ②f'(x)=0の解 を求めます。f'(x)の分母√(4-x2)は,-1≦x<2のとき正の値となるので,(分子)=2(2-x2)=0です。

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2-x2=0
⇔x=±√2
ですが,-1<x<2より,x=√2となります。

f'(x)の符号から増減表を作成

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③増減表 を書きましょう。一番上の段には,xの値を書きます。-1≦x≦2 より,x=-1を左端,x=2を右端に記入し,f'(x)=0となる x=√2 を書き込んでおきます。

微分法の応用16 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行のみうめる あとは空欄

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真ん中の段には,f'(x)の符号を書きます。f'(x)の符号を決める(2-x2)に着目して,それぞれの範囲の符号を調べると,

微分法の応用16 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行,真ん中の行をうめる あとは空欄

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一番下の段には,f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)>0ならば増加(↗),f'(x)<0ならば減少(↘)ですね。また,両端であるf(-1),f(2),極値であるf(√2)は具体的な値を求めておきます。

微分法の応用16 問題 増減表と右の式,下の式(1行分)

端点f(-1),f(2)と極値f(√2),f(1)を比較

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今回はf(x)の最大値・最小値を調べるのが目的です。
左端点 f(-1)=-√3
極大値 f(√2)=2
右端点 f(2)=0
より,f(-1)<f(2)<f(√2)ですね。

答え
微分法の応用16 問題 答え

関数の最大値・最小値の求め方

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解法のコツはつかめましたか? ポイントをまとめると以下のようになります。

POINT
微分法の応用16 ポイント
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関数の最大値・最小値(3)
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