高校数学Ⅲ

高校数学Ⅲ
5分で解ける!関数の最大値・最小値(3)に関する問題

6
Movie size

5分で解ける!関数の最大値・最小値(3)に関する問題

6

子どもの勉強から大人の学び直しまで
ハイクオリティーな授業が見放題

カンタン登録1分

この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
関数の最大値・最小値(3)

微分法の応用16 問題 ※アイコンの「問題1」を「問題」に修正してください

解説

これでわかる!
問題の解説授業
lecturer_avatar

f(x)=x√(4-x2) (-1≦x≦2)の最大値,最小値を求める問題です。関数の最大値・最小値は,次の3つの手順にしたがって求めます。

最大値・最小値の求め方

① f'(x)を計算する

② f'(x)=0を解く

③ 増減表を書く

lecturer_avatar

増減表の極大値・極小値と定義域の両端点におけるf(x)の値を比較して,最大値・最小値を求めていきます。

f'(x)=0となるxの値をチェック

微分法の応用16 問題 ※アイコンの「問題1」を「問題」に修正してください

lecturer_avatar

f(x)は無理関数なので,ルートの中身が0以上である必要があります。4-x2≧0つまり-2≦x≦2です。ただし,問題文で与えられた-1≦x≦2は,-2≦x≦2を満たしているので,今回は特に考慮する必要がありません。

lecturer_avatar

まず, ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)={x√(4-x2)}'
積の微分公式より,
f'(x) =(x)'√(4-x2)+x{√(4-x2)}'
これを計算すると,

微分法の応用16 問題 答え1~5行目

lecturer_avatar

次に, ②f'(x)=0の解 を求めます。f'(x)の分母√(4-x2)は,-1≦x<2のとき正の値となるので,(分子)=2(2-x2)=0です。

lecturer_avatar

2-x2=0
⇔x=±√2
ですが,-1<x<2より,x=√2となります。

f'(x)の符号から増減表を作成

lecturer_avatar

③増減表 を書きましょう。一番上の段には,xの値を書きます。-1≦x≦2 より,x=-1を左端,x=2を右端に記入し,f'(x)=0となる x=√2 を書き込んでおきます。

微分法の応用16 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行のみうめる あとは空欄

lecturer_avatar

真ん中の段には,f'(x)の符号を書きます。f'(x)の符号を決める(2-x2)に着目して,それぞれの範囲の符号を調べると,

微分法の応用16 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行,真ん中の行をうめる あとは空欄

lecturer_avatar

一番下の段には,f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)>0ならば増加(↗),f'(x)<0ならば減少(↘)ですね。また,両端であるf(-1),f(2),極値であるf(√2)は具体的な値を求めておきます。

微分法の応用16 問題 増減表と右の式,下の式(1行分)

端点f(-1),f(2)と極値f(√2),f(1)を比較

lecturer_avatar

今回はf(x)の最大値・最小値を調べるのが目的です。
左端点 f(-1)=-√3
極大値 f(√2)=2
右端点 f(2)=0
より,f(-1)<f(2)<f(√2)ですね。

答え
微分法の応用16 問題 答え

関数の最大値・最小値の求め方

lecturer_avatar

解法のコツはつかめましたか? ポイントをまとめると以下のようになります。

POINT
微分法の応用16 ポイント
関数の最大値・最小値(3)
6
友達にシェアしよう!
Logo black
Register description
  • すべての授業の「要点まとめノート」「問題・解答」をPDF無料ダウンロードできる
  • 学校で使っている教科書にあわせて勉強できる
  • わからないところを質問できる

      会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
      ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくは
      こちらをご覧ください。

      この授業のポイント・問題を確認しよう

      微分法の応用

      Logo black
      Register description

          会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
          ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくは
          こちらをご覧ください。

          導関数の応用

          Logo black
          Register description

              会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
              ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくは
              こちらをご覧ください。

              高校数学Ⅲ