高校数学Ⅲ

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5分で解ける!関数の極値(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
関数の極値(1)

微分法の応用8 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業

極大値・極小値とは?

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f(x)=logx/x (x>0)の極値を求める問題です。例えば,ある関数の曲線が,上がって(↗),下がって(↘),上がる(↗)グラフを描くとしましょう。

微分法の応用6 ポイント 真ん中の図のグラフと矢印3つ,2つの点だけ(y=f(x)という文字不要,3つの不等式不要,縦線不要)

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このとき,図の曲線の左上の点が極大値,曲線の右下の点が極小値になり,極大値と極小値をあわせて極値といいます。

極大値・極小値を求めるコツ

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関数の極値を求めるときは,f'(x)の符号変化から極値をとるときのx座標を読み取ることが大事なポイントです。

POINT
微分法の応用8 ポイント
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f'(x)を求め,増減表を書くことで,f'(x)の符号変化がわかりますね。f'(x)が正から負に変わるときは,グラフが↗から↘になるので極大値をとります。f'(x)が負から正に変わるときは,グラフが↘から↗になるので極小値をとります。このポイントをおさえたうえで,f(x)=logx/x (x>0)の極値を求めていきましょう。

商の微分公式を活用

微分法の応用8 問題

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まずは, ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)=(logx/x)'
商の微分公式より,
f'(x)の分母
(x)2=x2
f'(x)の分子
(logx)'x-logx(x)'=(1/x)x-logx=1-logx
よって,
f'(x)=(1-logx)/x2
と求まります。

微分法の応用8 問題 答え1~3行目

f'(x)の符号から増減表を作成

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次に, ②f'(x)=0を解きます
f'(x)=(1-logx)/x2において,x>0より, x2は必ず正の値になることから, f'(x)=0のとき,1-logx=0 つまり x=e とわかりますね。

微分法の応用8 問題 答え4~5行目

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③増減表 を書きましょう。このとき,f'(x)=(1-logx)/x2において,符号を決定するのは分子の(1-logx)の式だと頭に入れておくと,増減表が書きやすくなります。

微分法の応用8 問題 増減表 表の右の式不要

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増減表の一番上の段には,xの値を書きます。f'(x)=0となるときのxの値eを入れています。真ん中の段には,f'(x)の符号を書きます。0<x<eのときに(1-logx)>0となるのでf'(x)は正ですね。e<xのときに(1-logx)<0となるのでf'(x)は負です。一番下の段には,f(x)の増減を書き入れます。f'(x)>0ならば増加(↗),f'(x)<0ならば減少(↘)ですね。

x=eのときに極大値f(e)をとる!

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今回はf(x)の極値を調べるのが目的です。増減表におけるf'(x)の符号変化を見ることで,極値がわかります。

微分法の応用8 問題 増減表 表の右の式不要

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f'(x) は,x=e を分岐点として,符号が正から負に変わっています。グラフが↗から↘になるので 極大値f(e) をとることがわかります。

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あとは,x=eを,f(x)=logx/xに代入すれば答えが出てきますね。

答え
微分法の応用8 問題 答え
関数の極値(1)
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