5分で解ける!関数の極値(1)に関する問題
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- 問題
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この動画の問題と解説
問題
解説
極大値・極小値とは?
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このとき,図の曲線の左上の点が極大値,曲線の右下の点が極小値になり,極大値と極小値をあわせて極値といいます。
極大値・極小値を求めるコツ
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関数の極値を求めるときは,f'(x)の符号変化から極値をとるときのx座標を読み取ることが大事なポイントです。
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f'(x)を求め,増減表を書くことで,f'(x)の符号変化がわかりますね。f'(x)が正から負に変わるときは,グラフが↗から↘になるので極大値をとります。f'(x)が負から正に変わるときは,グラフが↘から↗になるので極小値をとります。このポイントをおさえたうえで,f(x)=logx/x (x>0)の極値を求めていきましょう。
商の微分公式を活用
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まずは, ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)=(logx/x)'
商の微分公式より,
f'(x)の分母
(x)2=x2
f'(x)の分子
(logx)'x-logx(x)'=(1/x)x-logx=1-logx
よって,
f'(x)=(1-logx)/x2
と求まります。
f'(x)の符号から増減表を作成
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次に, ②f'(x)=0を解きます 。
f'(x)=(1-logx)/x2において,x>0より, x2は必ず正の値になることから, f'(x)=0のとき,1-logx=0 つまり x=e とわかりますね。
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③増減表 を書きましょう。このとき,f'(x)=(1-logx)/x2において,符号を決定するのは分子の(1-logx)の式だと頭に入れておくと,増減表が書きやすくなります。
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増減表の一番上の段には,xの値を書きます。f'(x)=0となるときのxの値eを入れています。真ん中の段には,f'(x)の符号を書きます。0<x<eのときに(1-logx)>0となるのでf'(x)は正ですね。e<xのときに(1-logx)<0となるのでf'(x)は負です。一番下の段には,f(x)の増減を書き入れます。f'(x)>0ならば増加(↗),f'(x)<0ならば減少(↘)ですね。
x=eのときに極大値f(e)をとる!
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今回はf(x)の極値を調べるのが目的です。増減表におけるf'(x)の符号変化を見ることで,極値がわかります。
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f'(x) は,x=e を分岐点として,符号が正から負に変わっています。グラフが↗から↘になるので 極大値f(e) をとることがわかります。
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あとは,x=eを,f(x)=logx/xに代入すれば答えが出てきますね。
![微分法の応用8 問題 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/6_1_8_1/k_mat_3_6_1_8_1_image06.png)
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f(x)=logx/x (x>0)の極値を求める問題です。例えば,ある関数の曲線が,上がって(↗),下がって(↘),上がる(↗)グラフを描くとしましょう。