高校数学Ⅲ

高校数学Ⅲ
5分で解ける!関数の極値(5)に関する問題

2
Movie size

5分で解ける!関数の極値(5)に関する問題

2

子どもの勉強から大人の学び直しまで
ハイクオリティーな授業が見放題

カンタン登録1分

この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
関数の極値(5)

微分法の応用12 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
lecturer_avatar

f(x)=x√(x+2)の極値を求める問題です。関数の極値は,次の3つの手順にしたがって求めます。

極値の求め方

① f'(x)を計算する

② f'(x)=0を解く

③ 増減表を書く

lecturer_avatar

手順③の増減表では,f'(x)の符号が変わる分岐点を意識しましょう。 f'(x)=0の式のうち,「符号を決定する式」 を発見しておくとスピーディーに増減表が書けます。また,今回のように 無理関数 を扱うときは,注意点が2つあります。1つは, xがとりうる範囲(定義域) を定めること。ルートの中身は0以上と約束されているので,f(x)=x√(x+2)は, x≧-2 と制限されています。2つ目は,分母が0になるときのxの値です。無理関数を微分するとき,f'(x)が分数関数になることがあります。f'(x)の分母が0になるxの値はとることができません。

POINT
微分法の応用12 ポイント
lecturer_avatar

このポイントをおさえたうえで,実際に問題を解いていきましょう。

f'(x)=0となるxの値をチェック

微分法の応用12 問題

lecturer_avatar

計算を始める前に,定義域を確認します。ルートの中身は0以上と約束されているので, x≧-2 ですね。

lecturer_avatar

次に, ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)={x√(x+2)}'
積の微分公式より,
f'(x)=(x)'{√(x+2)}+x{√(x+2)}'=√(x+2)+x×{1/2√(x+2)}
よって,
f'(x)=(3x+4)/2√(x+2)
このとき x≠-2 です。

lecturer_avatar

さらに, ②f'(x)=0を解きます
f'(x)=(3x+4)/2√(x+2)より,
f'(x)=0のとき,3x+4=0
つまり,
x=-4/3 とわかりますね。

微分法の応用12 問題 答え1~5行目

f'(x)の符号から増減表を作成

lecturer_avatar

③増減表 を書きましょう。一番上の段には,xの値を書きます。x≧-2 より,x=-2を左端に記入し,f'(x)=0となる x=-4/3 を書き込んでおきます。

微分法の応用12 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行のみうめる あとは空欄

lecturer_avatar

真ん中の段には,f'(x)の符号を書きます。f'(x)=(3x+4)/2√(x+2)において,分母は正なので, (3x+4) がf'(x)の符号を決めます。それぞれの範囲の符号を調べると,

微分法の応用12 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行,真ん中の行をうめる あとは空欄

lecturer_avatar

分母が0となるので,x=-2のときのf'(x)は値がないことに注意してください。一番下の段には,f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)>0ならば増加(↗),f'(x)<0ならば減少(↘)ですね。

微分法の応用12 問題 増減表

x=-4/3のときに極小値

lecturer_avatar

今回はf(x)の極値を調べるのが目的です。増減表におけるf'(x)の符号変化を見ることで,極値がわかります。

微分法の応用12 問題 増減表

lecturer_avatar

f'(x) は,x=-4/3 を分岐点として,符号が負から正に変わっています。グラフが↘から↗になるので 極小値f(-4/3) をとることがわかります。

lecturer_avatar

あとは,x=-4/3を,f(x)=x√(x+2)に代入すれば答えが出てきますね。

答え
微分法の応用12 問題 答え
関数の極値(5)
2
友達にシェアしよう!
Logo black
Register description
  • すべての授業の「要点まとめノート」「問題・解答」をPDF無料ダウンロードできる
  • 学校で使っている教科書にあわせて勉強できる
  • わからないところを質問できる

      会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
      メール受信に関するお問い合わせが増えております。メールが届かない場合は
      こちらをご覧ください。

      この授業のポイント・問題を確認しよう

      微分法の応用

      Logo black
      Register description

          会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
          メール受信に関するお問い合わせが増えております。メールが届かない場合は
          こちらをご覧ください。

          導関数の応用

          Logo black
          Register description

              会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
              メール受信に関するお問い合わせが増えております。メールが届かない場合は
              こちらをご覧ください。

              高校数学Ⅲ