高校数学Ⅲ
5分でわかる!導関数の符号と関数の増減(1)
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この動画の要点まとめ
ポイント
導関数の符号と関数の増減(1)
これでわかる!
ポイントの解説授業
「f'(x)の符号」から「f(x)の増減」がわかる!
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関数y=f(x)について,f(x)を微分した式を導関数f'(x)と言いましたね。この 導関数f'(x)の符号 ,つまりf'(x)が正なのか負なのかを調べることにより,f(x)の増減を調べることができます。これは数学Ⅱの「微分法・積分法」でも学習した知識ですが,もう一度おさらいをしておきましょう。
POINT
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ポイントを詳しく解説していきましょう。
「f'(x)≧0」のときは「f(x)が増加」
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導関数f'(x)≧0の範囲では,関数f(x)は増加します。y=f(x)のグラフで考えると,f'(x)≧0の範囲では右上がりの曲線になりますね。
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f'(x)≧0のときに,f(x)が増加する理由はわかりますか? 注目ポイントは,接線の傾きです。導関数f'(x)は接線の傾きを表しましたね。f'(x)≧0であるxの範囲では, 接線の傾きが0以上になる(右上がりになる) ので,曲線も右上がりのグラフになります。y=f(x)のグラフが右上がりということは,f(x)は増加しているとわかるわけですね。
「f'(x)≦0」のときは「f(x)が減少」
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導関数f'(x)≦0の範囲では,関数f(x)は減少します。y=f(x)のグラフで考えると,f'(x)≦0の範囲では右下がりの曲線になりますね。
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f'(x)≦0のときに,f(x)が減少する理由を考えてみましょう。f'(x)≦0であるxの範囲では, 接線の傾きが0以下になる(右下がりになる) ので,曲線も右下がりのグラフになります。y=f(x)のグラフが右下がりということは,f(x)は減少しているとわかるわけですね。
POINT
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数学Ⅱで登場する曲線の方程式は,2次関数や3次関数でした。しかし,数学Ⅲでは,三角関数,指数関数,対数関数など様々な関数が登場します。このような関数でも,導関数の符号から関数の増減を調べることができるのです。
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今回は導関数の符号と関数の増減について解説していきましょう。