高校数学Ⅲ

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5分で解ける!導関数の符号と関数の増減(2)に関する問題

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5分で解ける!導関数の符号と関数の増減(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
導関数の符号と関数の増減(2)

微分法の応用7 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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f(x)=x2e-xの増減を調べる問題です。関数の増減は,導関数f'(x)の符号から調べることができますね。次の3つの手順にしたがって,増減を調べていきます。

POINT
微分法の応用7 ポイント
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f'(x)≧0ならばf(x)は増加,f'(x)≦0ならばf(x)は減少です。手順③では,f'(x)の符号が変わる分岐点を意識しましょう。

積の微分公式を活用

微分法の応用7 問題

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まずは, ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)=(x2e-x)'
積の微分公式より,(前の微分)×(後ろそのまま)+(前そのまま)×(後ろ微分)で計算すると,
f'(x) =(x2)'e-x+x2(e-x)'
   =2xe-x+x2×(-e-x)
   =x(2-x)e-x

微分法の応用7 問題 答え1~4行目

f'(x)の符号から増減表を作成

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次に, ②f'(x)=0を解きます
f'(x)=x(2-x)e-xにおいて, e-xは必ず正の値になることから,f'(x)=0のとき,x=0,2とわかりますね。

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最後に, ③増減表 を書きましょう。このとき,f'(x)=x(2-x)e-xにおいて,符号を決定するのはx(2-x)の式だと頭に入れておくと,増減表が書きやすくなります。

微分法の応用7 問題 増減表

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増減表の一番上の段には,xの値を書きます。f'(x)=0となるときのxの値0,2を入れています。真ん中の段には,f'(x)の符号を書きます。x<0のときにx(2-x)<0となるのでf'(x)は負ですね。同様にf'(x)の符号を調べると,0<x<2のときにf'(x)は正,2<xのときにf'(x)は負です。一番下の段には,f(x)の増減を書き入れます。f'(x)>0ならば増加(↗),f'(x)<0ならば減少(↘)ですね。

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今回はf(x)の増減を調べるのが目的です。増減表だけでも構いませんが,次のように答えをまとめておくとよいでしょう。

答え
微分法の応用7 問題 答え
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導関数の符号と関数の増減(2)
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