高校数学Ⅲ

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5分で解ける!曲線の凹凸と変曲点(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
曲線の凹凸と変曲点(2)

微分法の応用19 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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曲線y=exsinx (0≦x≦2π)の凹凸を調べ,変曲点の座標を求める問題です。

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曲線y=f(x)の凹凸は,2回微分したf''(x)の符号から判別できます。f''(x)の符号が正である区間では,曲線は下に凸f''(x)の符号が負である区間では,曲線は上に凸となります。また,下に凸,上に凸が入れ替わる変曲点においてはf''(x)=0となります。

POINT
微分法の応用19 ポイント

y''=0を解いて,増減表を作成

微分法の応用19 問題

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y=exsinxを微分して,
y'=(ex)'sinx+ex(sinx)'
 =exsinx+excosx
 =(sinx+cosx)ex
さらに微分したy''は,
y'' =(sinx+cosx)'ex+(sinx+cosx)(ex)'
  =(cosx-sinx)ex+(sinx+cosx)ex
  =2excosx
と求まりました。

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曲線の凹凸は,y''の符号から判別します。
y''=2excosx=0
となるのは,cosx=0のときですね。0≦x≦2πより,
x=(π/2),(3π/2)
y''の符号は, x=(π/2),(3π/2) を分岐点に変わることがわかります。この情報をもとに,増減表を書いてみましょう。

微分法の応用19 増減表 一番下の段の3つ目(e^(π/2)^)と5つ目(-e^(3π/2)^)を消しておく

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増減表は,上から順に「xの値」「y''の符号」「yの凹凸または値」を記します。y''の符号はcosxによって決まるので,「x:0→(π/2)→(3π/2)→2π」と進むとき,「cosx:正→0→負→0→正」と進みます。y''の符号が正である区間では,曲線は下に凸y''の符号が負である区間では,曲線は下に凸となります。

変曲点の座標は?

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下に凸,上に凸が入れ替わる点変曲点なので,変曲点のx座標は(π/2)と(3π/2)ですね。

微分法の応用19 増減表 一番下の段の3つ目(e^(π/2)^)と5つ目(-e^(3π/2)^)を消しておく

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変曲点のy座標は,x=(π/2),(3π/2)を代入して,
x=(π/2) のとき,
y=e(π/2)×sin(π/2)=e(π/2)×1= e(π/2)
x=(3π/2) のとき,
y=e(3π/2)×sin(3π/2)=e(3π/2)×(-1)= -e(3π/2)
と求められます。

答え
微分法の応用19 問題2 答え
曲線の凹凸と変曲点(2)
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