高校数学Ⅲ

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5分で解ける!第2次導関数と極値に関する問題

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5分で解ける!第2次導関数と極値に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

微分法の応用22 問題1

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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f(x)=x3-3xの極値を求める問題です。数学Ⅱの「微分法・積分法」で学習した知識でも解ける問題です。数学Ⅱでは,f'(x)=0の解を求め,増減表を書いてf'(x)の符号変化を見て……と答えを出してきましたが,ここでは第二次導関数を使って極大値・極小値を判定しましょう。

POINT
微分法の応用22 ポイント
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「f'(α)=0かつf''(α)>0」ならば「f(α)は極小値」「f'(β)=0かつf''(β)<0」ならば「f(β)は極大値」 だと判定できます。

f'(x)=0の解を求める

微分法の応用22 問題1

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まずは,f'(x)=0の解を求めます。
f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=0
より,
x=±1
とわかりました。ただし, x=±1 で極大値・極小値をとるかはまだわかりません。

f''(-1),f''(1)の符号を見る

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極大値・極小値を判定するために,f''(x)の符号を見ましょう。
f''(x)={3(x2-1)}'=6x

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x=-1のとき,
f''(-1) =6×(-1) <0
つまり,f(-1)で極大となり,その値は,
f(-1)=(-1)3-3×(-1)=2
です。

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x=1のとき,
f''(1) =6×1 >0
つまり,f(1)で極小となり,その値は,
f(1)=13-3×1=-2
です。

答え
微分法の応用22 問題1 答え
第2次導関数と極値
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