f(x)=x³-3xの極値を求める問題です。数学Ⅱの「微分法・積分法」で学習した知識でも解ける問題です。数学Ⅱでは，f'(x)=0の解を求め，増減表を書いてf'(x)の符号変化を見て……と答えを出してきましたが，ここでは第二次導関数を使って極大値・極小値を判定しましょう。

「f'(α)=0かつf''(α)＞0」ならば「f(α)は極小値」，「f'(β)=0かつf''(β)＜0」ならば「f(β)は極大値」 だと判定できます。

まずは，f'(x)=0の解を求めます。
f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=0
より，
x=±1
とわかりました。ただし， x=±1 で極大値・極小値をとるかはまだわかりません。

極大値・極小値を判定するために，f''(x)の符号を見ましょう。
f''(x)={3(x²-1)}'=6x

x=-1のとき，
f''(-1) =6×(-1) ＜0
つまり，f(-1)で極大となり，その値は，
f(-1)=(-1)³-3×(-1)=2
です。

x=1のとき，
f''(1) =6×1 ＞0
つまり，f(1)で極小となり，その値は，
f(1)=1³-3×1=-2
です。