高校数学Ⅲ

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5分で解ける!関数の最大値・最小値(2)に関する問題

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5分で解ける!関数の最大値・最小値(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
関数の最大値・最小値(2)

微分法の応用15 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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f(x)=x/(x2+1) (-3≦x≦3)の最大値,最小値を求める問題です。関数の最大値・最小値は,次の3つの手順にしたがって求めます。

最大値・最小値の求め方

① f'(x)を計算する

② f'(x)=0を解く

③ 増減表を書く

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増減表の極大値・極小値と定義域の両端点におけるf(x)の値を比較して,最大値・最小値を求めていきます。

f'(x)=0となるxの値をチェック

微分法の応用15 問題

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f(x)は分数関数ですが,分母(x2+1)は正の値で0になることはありません。定義域-3≦x≦3に特別な制限はありませんね。

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まず, ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)={(x/(x2+1)}'
商の微分公式より,
f'(x)の分母
(x2+1)2
f'(x)の分子
(x)'(x2+1)-x(x2+1)'=(x2+1)-x×2x
よって,
f'(x)=(1-x2)/(x2+1)2

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次に, ②f'(x)=0を解きます
f'(x)=(1-x2)/(x2+1)2より,
f'(x)=0のとき,1-x2=0
つまり, x=±1 とわかりますね。

微分法の応用15 問題 答え1~4行目

f'(x)の符号から増減表を作成

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③増減表 を書きましょう。一番上の段には,xの値を書きます。-3≦x≦3 より,x=-3を左端,x=3を右端に記入し,f'(x)=0となる x=±1 を書き込んでおきます。

微分法の応用15 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行のみうめる あとは空欄

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真ん中の段には,f'(x)の符号を書きます。f'(x)=(1-x2)/(x2+1)2において,(分母)>0より,(1-x2)の符号に着目します。それぞれの範囲の符号を調べると,

微分法の応用15 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行,真ん中の行をうめる あとは空欄

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一番下の段には,f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)>0ならば増加(↗),f'(x)<0ならば減少(↘)ですね。また,両端であるf(-3),f(3),極値であるf(-1),f(1)は具体的な値を求めておきます。

微分法の応用15 問題 増減表と右の式

端点f(3),f(-3)と極値f(-1),f(1)を比較

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今回はf(x)の最大値・最小値を調べるのが目的です。
左端点 f(-3)=3/10
極小値 f(-1)=-1/2
極大値 f(1)=1/2
右端点 f(3)=3/10
より,f(-1)<f(-3)<f(3)<f(1)ですね。

答え
微分法の応用15 問題 答え

関数の最大値・最小値の求め方

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解法のコツはつかめましたか? ポイントをまとめると以下のようになります。

POINT
微分法の応用15 ポイント
関数の最大値・最小値(2)
5
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