高校数学Ⅲ

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5分で解ける!曲線の凹凸と変曲点(1)に関する問題

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5分で解ける!曲線の凹凸と変曲点(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう

微分法の応用18 問題2

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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y=xexの凹凸を調べ,変曲点の座標を求める問題です。曲線の凹凸は,2回微分したy''の符号から判別できます。また,下に凸,上に凸が入れ替わる点変曲点です。

POINT
微分法の応用18 ポイント

y''=0を解いて,増減表を作成

微分法の応用18 問題2

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問題1より,y=xexを2回微分したy''は,
y''=(x+2)ex
とわかっていますね。

lecturer_avatar

曲線の凹凸は,y''の符号から判別します。
y''=(x+2)ex=0
となるのは,(x+2)=0つまりx=-2のとき。ex>0より,y''の符号は
(x+2)の符号によって決まります。x=-2の前後でy''の符号が変わることがわかりましたね。この情報をもとに,増減表を書いてみましょう。

微分法の応用18 増減表 一番下の段の真ん中(-2/e^2^)だけ消しておく

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増減表は,上から順に「xの値」「y''の符号」「yの凹凸または値」を記します。ポイントになるのは,y''の符号です。y''の符号が正である区間では,曲線は下に凸y''の符号が負である区間では,曲線は上に凸となります。

変曲点の座標は?

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下に凸,上に凸が入れ替わる点変曲点なので,変曲点のx座標は-2ですね。

微分法の応用18 増減表 一番下の段の真ん中(-2/e^2^)だけ消しておく

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変曲点のy座標は,x=-2を代入して,
y=-2×e-2
と求められます。

答え
微分法の応用18 問題2 答え
曲線の凹凸と変曲点(1)
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