高校数学Ⅲ

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5分で解ける!関数の最大値・最小値(1)に関する問題

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5分で解ける!関数の最大値・最小値(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
関数の最大値・最小値(1)

微分法の応用14 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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f(x)=(1+sinx)cosx (0≦x≦π)の最大値,最小値を求める問題です。これまでの問題ではf(x)の極値を求めてきましたが,今回からは最大値・最小値を求めます。……といっても,解法はほとんど変わりません。関数の最大値・最小値は,次の3つの手順にしたがって求めます。

最大値・最小値の求め方

① f'(x)を計算する

② f'(x)=0を解く

③ 増減表を書く

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増減表の中には極大値や極小値が登場しましたね。この極大値・極小値と定義域の両端点におけるf(x)の値を比較して,最大値・最小値を求めていきます。

f'(x)=0となるxの値をチェック

微分法の応用14 問題

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まず, ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)={(1+sinx)cosx}'
積の微分公式より,
f'(x)=(1+sinx)'cosx+(1+sinx)(cosx)'
   =cos2x+(1+sinx)×(-sinx)
   =cos2x-sin2x-sinx
f'(x)=0の値がわかるように,この式を変形して因数分解します。
f'(x) =cos2x-sin2x-sinx
   =(1-sin2x)-sin2x-sinx
   =-(2sin2x+sinx-1)
   =-(2sinx-1)(sinx+1)

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次に, ②f'(x)=0を解きます
0<x<πより,0<sinx<1ですね。
f'(x)=-(2sinx-1)(sinx+1)より,
f'(x)=0のとき,2sinx-1=0=0
sinx=(1/2) つまり x=(π/6),(5π/6) とわかりますね。

微分法の応用14 問題 答え1~7行目

f'(x)の符号から増減表を作成

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③増減表 を書きましょう。一番上の段には,xの値を書きます。0≦x≦π より,x=0を左端,x=πを右端に記入し,f'(x)=0となる x=(π/6),(5π/6) を書き込んでおきます。

微分法の応用14 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行のみうめる あとは空欄

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真ん中の段には,f'(x)の符号を書きます。f'(x)=-(2sinx-1)(sinx+1)において,(sinx+1)>0より,-(2sinx-1)の符号に着目します。それぞれの範囲の符号を調べると,

微分法の応用14 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行,真ん中の行をうめる あとは空欄

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一番下の段には,f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)>0ならば増加(↗),f'(x)<0ならば減少(↘)ですね。また,両端であるf(0),f(π)は具体的な値を求めておきます。f(0)=(1+sin0)cos0=(1+0)×1=1,f(π)=(1+sinπ)cosπ=(1+0)×(-1)=-1より,

微分法の応用14 問題 増減表

極大値・極小値とf(0),f(π)を比較

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今回はf(x)の最大値・最小値を調べるのが目的です。極大値f(π/6)・極小値f(5π/6)の値も求めましょう。

微分法の応用14 問題 増減表の下の2行分

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左端点 f(0)=1
極大値 f(π/6)=(3√3)/4
極小値 f(5π/6)=-(3√3)/4
右端点 f(π)=-1
より,f(5π/6)<f(π)<f(0)<f(π/6)ですね。

答え
微分法の応用14 問題 答え

関数の最大値・最小値の求め方

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解法のコツはつかめましたか? ポイントをまとめると以下のようになります。

POINT
微分法の応用14 ポイント
関数の最大値・最小値(1)
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