高校数学Ⅲ

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5分でわかる!第2次導関数と極値

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この動画の要点まとめ

ポイント

第2次導関数と極値

微分法の応用22 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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今回は,第二次導関数と極値について解説します。関数f(x)について,f(x)を2回微分したf''(x)を第二次導関数と呼びました。f''(x)は,曲線y=f(x)の凹凸を調べるときに役立ちましたね。実は,f''(x)の役割はそれだけにとどまらないのです。

極大値,極小値の判定ができる

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いま,曲線y=f(x)について,f'(x)=0がx=α,βの異なる2つの解をもつとします。このとき,f'(α)=0,f'(β)=0ということがわかりますが,これだけの情報では,f(α),f(β)が極値だとは判断できません。しかし,これにf''(x)の符号の情報が加わると,極大値,極小値の判定ができるようになるのです。

POINT
微分法の応用22 ポイント
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このポイントの内容を詳しく解説しましょう。

「f'(α)=0かつf''(α)>0」ならば「f(α)は極小値」

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まず,㋐のパターンです。

微分法の応用22 左半分のみ

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曲線y=f(x)について,x=αのときにf'(α)=0となるとします。このとき,x=αにおける曲線の接線の傾きf'(α)は0だと言えますね。さらに,f''(α)>0であるとき,曲線は下に凸です。言い換えると,曲線の接線の傾きf'(x)は,x=αで増加していることがわかります。

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つまり,y=f(x)は,x=αにおいて接線の傾きが0かつ増加することになるのです。よって,㋐のようにx=αで下に凸な曲線となり,f(α)は極小値だとわかります。

微分法の応用22 左半分のみ

「f'(β)=0かつf''(β)<0」ならば「f(β)は極大値」

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次に,㋑のパターンです。

微分法の応用22 右半分のみ

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曲線y=f(x)について,x=βのときにf'(β)=0となるとします。このとき,x=βにおける曲線の接線の傾きf'(β)は0だと言えますね。さらに,f''(β)<0であるとき,曲線は上に凸です。言い換えると,曲線の接線の傾きf'(x)は,x=βで減少していることがわかります。

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つまり,y=f(x)は,x=βにおいて接線の傾きが0かつ減少することになるのです。よって,㋑のようにx=βで上に凸な曲線となり,f(β)は極大値だとわかります。

微分法の応用22 右半分のみ

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これまで,極大値,極小値の判定は,f'(x)=0の解に加えて,f'(x)の符号変化を増減表で読み取ってきました。第二次導関数の符号からも極大値,極小値の判定ができることをおさえておきましょう。

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

第2次導関数と極値
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