高校数学Ⅲ

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5分で解ける!関数の極値(4)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
関数の極値(4)

微分法の応用11 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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f(x)=ex/(x-3)の極値を求める問題です。関数の極値は,次の3つの手順にしたがって求めます。

極値の求め方

① f'(x)を計算する

② f'(x)=0を解く

③ 増減表を書く

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手順③の増減表では,f'(x)の符号が変わる分岐点を意識しましょう。 f'(x)=0の式のうち,「符号を決定する式」 を発見しておくとスピーディーに増減表が書けます。また,今回のように 分数関数 を扱うときは,分母が0になるときのxの値に注意してください。f(x)=ex/(x-3) は,分母が0になるx=3の値はとれません。分母が0になるところで,グラフは途切れるのです。

POINT
微分法の応用11 ポイント
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このポイントをおさえたうえで,実際に問題を解いていきましょう。

f'(x)=0となるxの値をチェック

微分法の応用11 問題

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まずは, ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)={ex/(x-3)}'
商の微分公式より,
f'(x)の分母
(x-3)2
f'(x)の分子
(ex)'(x-3)-ex(x-3)'=ex(x-3)-ex
よって,
f'(x)=ex(x-4)/(x-3)2
このとき x≠3 です。

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次に, ②f'(x)=0を解きます
f'(x)=ex(x-4)/(x-3)2より,
f'(x)=0のとき,x-4=0
つまり,
x=4 とわかりますね。

微分法の応用11 問題 答え1~4行目

f'(x)の符号から増減表を作成

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③増減表 を書きましょう。一番上の段には,xの値を書きます。f'(x)=0となる x=4 に加え,分母が0となるxの値3を書き込んでおきます。

微分法の応用11 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行のみうめる あとは空欄

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真ん中の段には,f'(x)の符号を書きます。f'(x)=ex(x-4)/(x-3)2において,分母(x-3)2は正,分子のexは正なので, (x-4) がf'(x)の符号を決めます。それぞれの範囲の符号を調べると,

微分法の応用11 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行,真ん中の行をうめる あとは空欄

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x≠3となるので,x=3のときのf'(x),f(x)は値がないことに注意してください。一番下の段には,f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)>0ならば増加(↗),f'(x)<0ならば減少(↘)ですね。

微分法の応用11 問題 増減表

x=4のときに極小値

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今回はf(x)の極値を調べるのが目的です。増減表におけるf'(x)の符号変化を見ることで,極値がわかります。

微分法の応用11 問題 増減表

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f'(x) は,x=4 を分岐点として,符号が負から正に変わっています。グラフが↘から↗になるので 極小値f(4) をとることがわかります。また,x=3のときのf(x)の値はなく,グラフは途中でちぎれることになります。

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あとは,x=4を,f(x)=ex/(x-3)に代入すれば答えが出てきますね。

答え
微分法の応用11 問題 答え
関数の極値(4)
6
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