高校数学Ⅲ

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5分で解ける!関数の極値(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
関数の極値(2)

微分法の応用9 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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f(x)=(√3)x+2cosx (0<x<π)の極値を求める問題です。関数の極値は,次の3つの手順にしたがって求めます。

POINT
微分法の応用9 ポイント
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手順③の増減表では,f'(x)の符号が変わる分岐点を意識しましょう。f'(x)=0の解に注目して,その前後のf'(x)の符号を確認していくとスピーディーに増減表が書けます。

f'(x)=0となるxの値をチェック

微分法の応用9 問題

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まずは, ①導関数f'(x)を計算 しましょう。
f'(x)=√3(x)'+2(cosx)'=√3-2sinx

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次に, ②f'(x)=0を解きます
f'(x)=√3-2sinxより,
f'(x)=0のとき,2sinx=√3
0<x<πより,
x=(π/3),(2π/3) とわかりますね。

微分法の応用9 問題 答え1~4行目

f'(x)の符号から増減表を作成

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③増減表 を書きましょう。一番上の段には,xの値を書きます。0<x<πより,x=0を左端として,f'(x)=0となるときのxの値(π/3),(2π/3)を入れ,x=πを右端に書きます。

微分法の応用9 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行のみうめる あとは空欄

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真ん中の段には,f'(x)の符号を書きます。符号を確認するときは,f'(x)=0の解の前後の値を代入すると,調べやすくなります。例えば, 0<x<(π/3) の符号は,x=π/6をf'(x)に代入します。同様に, (π/3)<x<(2π/3) の符号はx=(π/2), (2π/3)<x<π の符号はx=(5π/6)を代入して調べます。

微分法の応用9 問題 増減表の下のカッコ内3行

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f'(x)の符号が,
0<x<(π/3) のとき
(π/3)<x<(2π/3) のとき
(2π/3)<x<π のとき
とわかりましたね! これらを増減表の真ん中の段に書き入れ,一番下の段には,f(x)の増減を書き入れましょう。f'(x)>0ならば増加(↗),f'(x)<0ならば減少(↘)ですね。

微分法の応用9 問題 増減表 下のカッコ不要

x=(π/3)のときに極大値,x=(2π/3)のときに極小値

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今回はf(x)の極値を調べるのが目的です。増減表におけるf'(x)の符号変化を見ることで,極値がわかります。

微分法の応用9 問題 増減表 下のカッコ不要

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f'(x) は,x=(π/3) を分岐点として,符号が正から負に変わっています。グラフが↗から↘になるので 極大値f(π/3) をとることがわかります。また, f'(x) は,x=(2π/3) を分岐点として,符号が負から正に変わっています。グラフが↘から↗になるので 極小値f(2π/3) をとることがわかります。

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あとは,x=(π/3),(2π/3)を,f(x)=(√3)x+2cosxに代入すれば答えが出てきますね。

答え
微分法の応用9 問題 答え
関数の極値(2)
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