今回は，曲線の凹凸と変曲点について解説します。

曲線y=f(x)について，下に盛り上がっているグラフを下に凸な曲線，上に盛り上がっているグラフを上に凸な曲線といいます。代表例は，2次関数の放物線ですよね。放物線に限らず，曲線には凹凸があります。

曲線y=f(x)の凹凸は，f(x)を2回微分したf''(x)の符号によって判別できます。ポイントを確認しましょう。

f''(x)の符号が正である区間では，曲線は下に凸となります。逆に，f''(x)の符号が負である区間では，曲線は上に凸となります。また，下に凸，上に凸が入れ替わる点を変曲点と呼びます。

f''(x)の符号で曲線の凹凸がわかる理由について簡単に説明しましょう。f''(x)＞0となる区間では，f(x)の導関数f'(x)は右上がり(↗)になりますよね。したがって，関数y=f(x)のグラフの接線の傾きは増加することになります。例えば，y=f(x)の接線の傾きが負であるときから，グングン上がっていき傾きが正になることを考えてください。曲線は下に凸になりますよね。

逆にf''(x)＜0となる区間では，f(x)の導関数f'(x)は右下がり(↘)になりますよね。したがって，関数y=f(x)のグラフの接線の傾きは減少することになります。例えば，y=f(x)の接線の傾きが正であるときから，ガンガン下がっていき傾きが負になることを考えてください。曲線は上に凸になりますよね。

このように，関数y=f(x)が2回微分可能なとき，そのグラフの凹凸は，f''(x)=0となるときを境目にして入れ替わるのです。