高校数学Ⅲ

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5分でわかる!曲線の凹凸と変曲点(1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

曲線の凹凸と変曲点(1)

微分法の応用18 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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今回は,曲線の凹凸と変曲点について解説します。

曲線の凹凸とは?

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曲線y=f(x)について,下に盛り上がっているグラフを下に凸な曲線,上に盛り上がっているグラフを上に凸な曲線といいます。代表例は,2次関数の放物線ですよね。放物線に限らず,曲線には凹凸があります。

微分法の応用18 ポイントの2つのグラフを左右に並べる y=f(x)と凸マーク入り

変曲点とは?

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曲線y=f(x)の凹凸は,f(x)を2回微分したf''(x)の符号によって判別できます。ポイントを確認しましょう。

POINT
微分法の応用18 ポイント
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f''(x)の符号が正である区間では,曲線は下に凸となります。逆に,f''(x)の符号が負である区間では,曲線は上に凸となります。また,下に凸,上に凸が入れ替わる点を変曲点と呼びます。

f''(x)の符号で曲線の凹凸がわかる理由

POINT
微分法の応用18 ポイント
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f''(x)の符号で曲線の凹凸がわかる理由について簡単に説明しましょう。f''(x)>0となる区間では,f(x)の導関数f'(x)は右上がり(↗)になりますよね。したがって,関数y=f(x)のグラフの接線の傾きは増加することになります。例えば,y=f(x)の接線の傾きが負であるときから,グングン上がっていき傾きが正になることを考えてください。曲線は下に凸になりますよね。

微分法の応用18 ポイントの上のグラフのみ y=f(x)と凸マーク入り,その下の1行も入れる

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逆にf''(x)<0となる区間では,f(x)の導関数f'(x)は右下がり(↘)になりますよね。したがって,関数y=f(x)のグラフの接線の傾きは減少することになります。例えば,y=f(x)の接線の傾きが正であるときから,ガンガン下がっていき傾きが負になることを考えてください。曲線は上に凸になりますよね。

微分法の応用18 ポイントの下のグラフのみ y=f(x)と凸マーク入り,その下の1行も入れる

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このように,関数y=f(x)が2回微分可能なとき,そのグラフの凹凸は,f''(x)=0となるときを境目にして入れ替わるのです。

Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

曲線の凹凸と変曲点(1)
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