5分で解ける!グラフのかき方(1)に関する問題
![高校数学Ⅲ](http://assets.try-it.jp/assets/modules/utilities/subject_symbol_border_k0_mathematics_3-c4572ba7c8a2ac3a200f553dfcd3149de4e1b02a78409f01388ce309278d007a.png)
- 問題
![](http://assets.try-it.jp/assets/modules/components/movie_size-f89110ba4a351d85c483bb12f73c7cf89e2ba13a9174f58b4a38599d28678843.png)
この動画の問題と解説
問題
解説
![微分法の応用20 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/6_1_20_1/k_mat_3_6_1_20_1_image02.png)
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
手順①
まずは,y=f(x)の増減を調べます。f'(x)の符号から グラフが右上がり(↗),右下がり(↘) となる範囲がわかりますね。このとき極値も求めましょう。
手順②
次に,y=f(x)の凹凸を調べます。f''(x)の符号から グラフが上に凸,下に凸 となる範囲がわかりますね。このとき変曲点も求めましょう。
手順③
最後に,y=f(x)が ±∞を目指して進むときの極限 を調べます。これによって,曲線の左側,右側の形が決定できます。
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
では,この3つの手順にしたがって,y=e-2x2 のグラフの概形をかいていきましょう。
y'=0,y''=0の方程式を解く
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
手順①「増減を調べる」にはy'の符号が,手順②「凹凸を調べる」にはy''の符号が必要となります。y',y''を合成関数の微分によって求めると,
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
となりますね。合成関数の微分は, (外の関数の微分)×(内の関数の微分) でした。e-2x2では,外の関数がe□,内の関数が-2x2となっています。
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
y'=0,y''=0の方程式を解くと,
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
となり,y'の符号変化の分岐点がx=0,y''の符号変化の分岐点がx=±(1/2)と予測がつきます。
「x,y',y'',y」の4段増減表を作成
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
手順①「増減を調べる」,手順②「凹凸を調べる」の仕上げに,増減表 を書きましょう。「x,y',y'',y」の4つの情報を並べるので,次のような4段重ねの表になります。
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
一番上の段には,xの値を書きます。y'=0となる x=0 と,y''=0となる x=±(1/2) を書き込んでおきました。
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
二番目の段には,y'の符号を書きましょう。
y'=-4xe-2x2
より,符号を決めるのは -4x の部分です。x=0を分岐点として,それぞれの範囲の符号は,
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
三番目の段には,y''の符号を書きましょう。
y''=4(4x2-1)e-2x2
より,符号を決めるのは (4x2-1) の部分です。x=±(1/2) を分岐点として,それぞれの範囲の符号は,
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
四番目の段には, yの増減(凹凸) と値を書きましょう。y=e-2x2にx=0を代入すると,極大値は1とわかります。 x=±(1/2) を代入すると,変曲点のy座標は1/√eとわかります。
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
yは,単純に右上がり(↗)か,右下がり(↘)かを記すのではなく,凹凸も加味して書き入れています。例えば,y'>0かつy''>0であれば,右上がり(↗)かつ接線の傾きも増加となります。y'>0かつy''<0であれば,右上がり(↗)かつ接線の傾きは減少となります。同様に,y'<0かつy''<0であれば,右下がり(↘)かつ接線の傾きも減少,y'<0かつy''>0であれば,右下がり(↘)かつ接線の傾きは増加となります。
±∞を目指して進むときの極限は?
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
増減表により,グラフの概形はほぼ把握できました。最後に,曲線の左側,右側の形を定めましょう。xが±∞を目指して進むときの極限を求めると,
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
y=e-2x2は限りなく0に近づくことがわかります。つまり,曲線の左側,右側はx軸に近づいていくのですね。これらの情報によってグラフを仕上げると次のようになります。
![微分法の応用20 問題 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/6_1_20_1/k_mat_3_6_1_20_1_image10.png)
![](http://assets.try-it.jp/assets/modules/utilities/logo_black-a711ae7f4c2af1410b916e7066a5e8950d6f2f3a2150e093b6dc878ad8f31d3f.png)
y=e-2x2 のグラフの概形をかく問題です。式を見ただけでは,どんなグラフの形かわかりませんね。そこで,次の3つの手順にしたがってグラフの形を特定していきます。