高校数学Ⅲ

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5分で解ける!グラフのかき方(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
グラフの書き方(1)

微分法の応用20 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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y=e-2x2 のグラフの概形をかく問題です。式を見ただけでは,どんなグラフの形かわかりませんね。そこで,次の3つの手順にしたがってグラフの形を特定していきます。

POINT
微分法の応用20 ポイント
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手順①
まずは,y=f(x)の増減を調べます。f'(x)の符号から グラフが右上がり(↗),右下がり(↘) となる範囲がわかりますね。このとき極値も求めましょう。
手順②
次に,y=f(x)の凹凸を調べます。f''(x)の符号から グラフが上に凸,下に凸 となる範囲がわかりますね。このとき変曲点も求めましょう。
手順③
最後に,y=f(x)が ±∞を目指して進むときの極限 を調べます。これによって,曲線の左側,右側の形が決定できます。

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では,この3つの手順にしたがって,y=e-2x2 のグラフの概形をかいていきましょう。

y'=0,y''=0の方程式を解く

微分法の応用20 問題

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手順①「増減を調べる」にはy'の符号が,手順②「凹凸を調べる」にはy''の符号が必要となります。y',y''を合成関数の微分によって求めると,

微分法の応用20 問題 答え1~4行目

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となりますね。合成関数の微分は, (外の関数の微分)×(内の関数の微分) でした。e-2x2では,外の関数がe,内の関数が-2x2となっています。

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y'=0,y''=0の方程式を解くと,

微分法の応用20 問題 答え5~6行目

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となり,y'の符号変化の分岐点がx=0,y''の符号変化の分岐点がx=±(1/2)と予測がつきます。

「x,y',y'',y」の4段増減表を作成

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手順①「増減を調べる」,手順②「凹凸を調べる」の仕上げに,増減表 を書きましょう。「x,y',y'',y」の4つの情報を並べるので,次のような4段重ねの表になります。

微分法の応用20 問題 増減表のうち,一番左の列と一番上の行のみうめる あとは空欄

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一番上の段には,xの値を書きます。y'=0となる x=0 と,y''=0となる x=±(1/2) を書き込んでおきました。

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二番目の段には,y'の符号を書きましょう。
y'=-4xe-2x2
より,符号を決めるのは -4x の部分です。x=0を分岐点として,それぞれの範囲の符号は,

微分法の応用20 問題 増減表のうち,一番左の列と一番目,二番目の行のみうめる あとは空欄

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三番目の段には,y''の符号を書きましょう。
y''=4(4x2-1)e-2x2
より,符号を決めるのは (4x2-1) の部分です。x=±(1/2) を分岐点として,それぞれの範囲の符号は,

微分法の応用20 問題 増減表のうち,一番左の列と一番目,二番目,三番目の行をうめる あとは空欄

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四番目の段には, yの増減(凹凸)を書きましょう。y=e-2x2x=0を代入すると,極大値は1とわかります。 x=±(1/2) を代入すると,変曲点のy座標は1/√eとわかります。

微分法の応用20 問題 増減表

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yは,単純に右上がり(↗)か,右下がり(↘)かを記すのではなく,凹凸も加味して書き入れています。例えば,y'>0かつy''>0であれば,右上がり(↗)かつ接線の傾きも増加となります。y'>0かつy''<0であれば,右上がり(↗)かつ接線の傾きは減少となります。同様に,y'<0かつy''<0であれば,右下がり(↘)かつ接線の傾きも減少y'<0かつy''>0であれば,右下がり(↘)かつ接線の傾きは増加となります。

微分法の応用20 問題 増減表

±∞を目指して進むときの極限は?

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増減表により,グラフの概形はほぼ把握できました。最後に,曲線の左側,右側の形を定めましょう。xが±∞を目指して進むときの極限を求めると,

微分法の応用20 問題 増減表とその下の一行

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y=e-2x2は限りなく0に近づくことがわかります。つまり,曲線の左側,右側はx軸に近づいていくのですね。これらの情報によってグラフを仕上げると次のようになります。

答え
微分法の応用20 問題 答え
グラフのかき方(1)
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