f(x)=x+cosxの増減を調べる問題です。関数の増減は，導関数f'(x)の符号から調べることができますね。

まずは，導関数f'(x)を求めましょう。
f'(x)=(x+cosx)'=1-sinx

次に，f'(x)=1-sinxの符号を調べます。式によく注目してください。xがどんな値をとっても，f'(x)≧0が成り立つことがわかりますか？

そうですね，三角関数のsinとcosは，最小値-1，最大値1の範囲でしか値をとれません。-1≦sinx≦1より，
f'(x)=1-sinx≧0
が成り立つわけです。

f'(x)≧0の範囲で，f(x)は単調増加を続けます。つまり，f(x)は増加関数であると言えますね。