問題のΣは，数列a_n=(3ⁿ-2ⁿ)/5ⁿが無限に続くときの項の和を表しています。これまで，差分解できる分数で表された数列や等比数列の無限級数を扱ってきましたが，それらの数列とはちょっと毛色が異なりますね。

しかし，慌てることはありません。Σの横の式をよく見てみましょう。(3ⁿ-2ⁿ)/5ⁿを分解してみると，
(3ⁿ/5ⁿ)-(2ⁿ/5ⁿ)=(3/5)ⁿ-(2/5)ⁿ
(公比3/5の等比数列)-(公比2/5の等比数列) になるのです。

これをもとに，数列a_n=(3ⁿ-2ⁿ)/5ⁿの第n項までの和S_nがわかれば，
①第n項までの和S_nを計算
②S_nの極限を計算
の手順で無限級数の和を求めることができますね。

まずは①第n項までの和S_nを計算し， S_n=(nの式) で表すことを考えます。Σの横の式は，(3/5)ⁿ-(2/5)ⁿ，つまり (初項・公比3/5の等比数列)-(初項・公比2/5の等比数列) に式変形できるので，次のように計算できます。

と 第n項までの和S_n が求まりました。

第n項までの和S_n がわかればあとひと息です。次に，S_nの極限を求めればよいですね。nが∞を目指して進むとき， S_nはどんな値を目指すかわかりますか？ S_nのうち，nを含む項の(3/5)ⁿと(2/5)ⁿに注目しましょう。-1＜3/5＜1，-1＜2/5＜1より，(3/5)ⁿと(2/5)ⁿはnの値が∞に向かうと，0に収束しますね。したがって，S_nのうち，nを含まない(3/2-2/3)の部分が求める等比級数となります。

無限級数の性質をポイントでまとめておきましょう。

今回のように，Σの横の式が2つの数列にわかれているときは，Σを分解し，まずは第n項までの和S_nを求めます。そのあとで，nが∞を目指して進むときのS_nの極限を求めればよいのです。