高校数学Ⅲ

高校数学Ⅲ
5分でわかる!等比数列の極限(1)

9
Movie size

5分でわかる!等比数列の極限(1)

9

子どもの勉強から大人の学び直しまで
ハイクオリティーな授業が見放題

カンタン登録1分

この動画の要点まとめ

ポイント

等比数列の極限(1)

極限8 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
lecturer_avatar

数学Bで学習した等比数列を覚えていますか?
{an}=2,22,23,24,……
のように,同じ値(公比)をかけ算し続ける数列を等比数列と言いました。今回は,等比数列の極限について解説します。

{an}=r,r2,r3,r4,……の極限

lecturer_avatar

初項r,公比rの等比数列{an}は,
{an}=r,r2,r3,r4,……rn
と表されますね。自然数nの値が∞を目指して進むとき,anの極限について考えてみましょう。

r=2のときは∞を目指す

lecturer_avatar

例えば,公比r=2のとき,
{an}=2,22,23,24,……2n
と表されますね。nが大きくなるほどanの値は大きくなり,∞を目指して進むとき,anも∞を目指すことがわかります。しかし,だからといって,rnの極限が∞と決めることはできません。

r=0.1のときは0を目指す

lecturer_avatar

例えば,公比r=0.1のとき,
{an}=0.1,(0.1)2,(0.1)3,(0.1)4,……(0.1)n
と表されます。nが大きくなるほどanの値は小さくなり,∞を目指して進むとき,anは0を目指すことがわかります。

lecturer_avatar

つまり,等比数列rnの極限は場合分けをして考えなければならないのです。

公比rの範囲によって5パターンある!

lecturer_avatar

r=2とr=0.1を例にとりましたが,実は等比数列rnの極限は公比rの範囲によって5パターンあります。次のポイントを確認しましょう。

POINT
極限8 ポイント
lecturer_avatar

①-1<r<1のとき
rnの極限は0になります。先ほどの例のr=0.1のように,絶対値が1よりも小さい値をかけ算し続けると,rnの値はどんどん0に近づいていくのです。

lecturer_avatar

②r=1のとき
rnの極限は1になります。r=1を何度かけ算しても,rnの値は1のままですね。

lecturer_avatar

③r>1のとき
rnの極限はになります。先ほどの例のr=2のように,1よりも大きい公比をかけ算し続けると,rnの値はどんどん大きくなり,∞に向かうのです。

lecturer_avatar

④r=-1のとき
rnの極限はありません。r=-1をかけ算し続けると,rnの値は+1と-1を交互に取り続け,目指す値が定まりません。このように極限をもたず,正の数と負の数を繰り返すことを 「振動する」 といいます。

lecturer_avatar

⑤r<-1のとき
rnの極限はありません。-1よりも小さい公比をかけ算し続けると,rnの値は正の数と負の数を交互に取り続け,目指す値が定まりません。r<-1のとき,rnの極限はなく,±∞で振動します。

POINT
極限8 ポイント
Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

等比数列の極限(1)
9
友達にシェアしよう!
Logo black
Register description
  • すべての授業の「要点まとめノート」「問題・解答」をPDF無料ダウンロードできる
  • 学校で使っている教科書にあわせて勉強できる
  • わからないところを質問できる

      会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
      ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくは
      こちらをご覧ください。

      この授業のポイント・問題を確認しよう

      極限

      Logo black
      Register description

          会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
          ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくは
          こちらをご覧ください。

          数列の極限

          Logo black
          Register description

              会員登録をクリックまたはタップすると、利用規約・プライバシーポリシーに同意したものとみなします。
              ご利用のメールサービスで @try-it.jp からのメールの受信を許可して下さい。詳しくは
              こちらをご覧ください。

              高校数学Ⅲ