高校数学Ⅲ

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5分で解ける!無限等比級数(4)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
無限等比級数(4)

極限17 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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無限等比級数がxの文字式で表された問題です。教科書では応用問題,大学入試では基本問題に相当する難易度になります。頻出パターンなので解法をしっかり身につけましょう。

初項と公比を読み取る!

極限17 問題

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まず,問題文の無限等比級数という言葉にきちんと反応できましたか?与えられた式は,
x,x(1-x),x(1-x)2,……
と無限に続く等比数列の和なのですね。初項はxとわかります。公比は(後ろの項)÷(前の項)で求められるので,(第2項)÷(第1項)より, 公比(1-x) と求められました。

「収束する」ときの初項と公比の条件は?

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次に,問題文の 「収束する」 という条件に注目しましょう。求める無限等比級数の和をSとおくと, ㋐(初項)=0 であれば,S=0に収束しましたね。さらに, ㋑(初項)≠0 の場合でも,-1<(公比)<1であれば, S=(初項)/{1-(公比)} に収束します。この2パターンに場合分けして,xの範囲とSの値を求めていきましょう。

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㋐(初項)=0 のとき,x=0S=0となります。

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㋑(初項)≠0 のとき,-1<(1-x)<1S=x/{1-(1-x)} となります。これを解くと,0<x<2のときS=1となりますね。

答え
極限17 問題 答え

無限等比級数の和が収束する条件

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無限等比級数の和が収束する条件をポイントでまとめておきましょう。

POINT
極限17 ポイント
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注目するのは,初項公比です。無限等比級数の和が収束するのは,㋐(初項)=0 または ㋑(初項)≠0かつ-1<(公比)<1の2パターンあることをおさえておきましょう。

無限等比級数(4)
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