5分で解ける!等比数列の極限(2)に関する問題
![高校数学Ⅲ](http://assets.try-it.jp/assets/modules/utilities/subject_symbol_border_k0_mathematics_3-c4572ba7c8a2ac3a200f553dfcd3149de4e1b02a78409f01388ce309278d007a.png)
- 問題
![](http://assets.try-it.jp/assets/modules/components/movie_size-f89110ba4a351d85c483bb12f73c7cf89e2ba13a9174f58b4a38599d28678843.png)
この動画の問題と解説
問題
解説
等比数列が組み合わさった問題
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
とても難しそうに見えますが,実は1つ計算を加えるだけで,この問題は簡単な等比数列の極限にすることができます。ポイントをお伝えしましょう。
![極限9 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/4_1_9_1/k_mat_3_4_1_9_1_image02.png)
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
解法のカギとなるのは,分母・分子を□nで割り算するという点です。この計算を加えて,-1<(公比r)<1の等比数列の極限をつくると,うまく解くことができます。……といっても,抽象的なポイントだけではわかりませんよね。実際に(1)(2)の問題に適用してみましょう。
分母・分子を4nで割る!
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
分母・分子を□nで割り算して,-1<(公比r)<1の等比数列の極限をつくるのがコツです。分母・分子は3nで割り算する方がよいか,4nで割り算する方がよいかわかりますか?
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
4nで割り算するのがよいですね!すると,次のように -1<(公比)<1の等比数列の極限をつくる ことができます。
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
nが∞を目指して進むとき, (3/4)nは0 を目指して進みますよね。したがって,次のように極限を求めることができます。
![極限9 問題(1) 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/4_1_9_1/k_mat_3_4_1_9_1_image05.png)
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
もし,(1)の式の分母・分子を3nで割り算してしまった場合,どうなるでしょうか? 分母・分子に (4/3)n が登場してしまい,この極限は∞となるので「∞÷∞」の不定形となってしまいます。極限が0となる,-1<(公比r)<1の等比数列の極限をつくるように式変形するのがコツです。
分母・分子を(-5)nで割る!
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
分母・分子を□nで割り算して,-1<(公比r)<1の等比数列の極限をつくるのがコツです。分母・分子は2n,3n,(-5)nのうち,どれで割り算するのがよいかわかりますか?
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
2,3,5のうち5がいちばん大きい数になるので,(-5)nで割り算するのがよいですね!すると,次のように -1<(公比)<1の等比数列の極限をつくる ことができます。
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
nが∞を目指して進むとき, (-2/5)nと(-3/5)nは0 を目指して進みますよね。したがって,次のように極限を求めることができます。
![極限9 問題(2) 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/4_1_9_1/k_mat_3_4_1_9_1_image08.png)
![](http://assets.try-it.jp/assets/modules/utilities/logo_black-a711ae7f4c2af1410b916e7066a5e8950d6f2f3a2150e093b6dc878ad8f31d3f.png)
等比数列4n,3nが和や差の形で組み合わさった極限の問題です。(1)(2)はさらに分数式となっていますね。