数学Ⅲの第4章は 「極限」 です。まずは数列の極限について学習していきましょう。

極限とは，限りなく〇〇に近づくという意味です。数学では，式の前に lim(リミット) という記号を置いて極限を表します。例えば，次の式を見てください。

この式は，3/(n+2)において，nが∞(無限大)に限りなく近づいたときの3/(n+2)が目指す値を表します。∞は無限大と読む記号で，限りなく大きい数のことです。

数列の極限では，数列{a_n}において自然数nが無限大を目指して進んで行くときに，a_nが近づく目標値を求めていきます。

nは自然数なので，数列はa₁,a₂,a₃,……と続いていきますね。n=10000000000000やn=1000000000000000などのとんでもなく大きい数を超えてnが無限大を目指していくときに，a_nが近づく目標値をlim_n→∞a_nという記号で表すのです。

数列の極限で，基本となる重要式が2つあるので覚えておきましょう。

①は，a_n=(1/n)で表される数列において，nが無限大を目指すときの極限を表します。nは自然数なので，
{a_n}=1,(1/2),(1/3),(1/4),……,(1/100000000),……
と無限に続いていきますね。分母のnが限りなく大きい値になると， a_nは0に近づいていく ことがわかります。これをlimを使って①のように表すのです。

②は，a_n=nで表される数列において，nが無限大を目指すときの極限を表します。nは自然数なので，
{a_n}=1,2,3,4,……,100000000,……
と無限に続いていきますね。nが限りなく大きい値になると， a_nは∞に近づいていく ことがわかります。これをlimを使って②のように表すのです。

①②は極限の計算の基本となるので，必ず覚えましょう。