高校数学Ⅲ

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5分で解ける!無限級数の計算(2)に関する問題

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5分で解ける!無限級数の計算(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
無限級数の計算(2)

極限13 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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問題のΣの式は,数列an=1/{√(n+1)+√n}が無限に続くときの項の和を表しています。無限級数は,
①第n項までの和Snを計算
②Snの極限を計算
の手順で求めてきましたね。特にこの問題のように分母にルートがあるときは,①の計算の際に有理化をしてSnを求めます。②の計算の結果,Snの極限が定数になるときを収束と言い,±∞のように定数とならないときは発散と言います。

POINT
極限13 ポイント
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ポイントの手順に従って具体的にこの問題を解いていきましょう。

第n項までの和Snを計算

極限13 問題

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まずは①第n項までの和Snを計算し, Sn=(nの式) で表すことを考えます。 1/{√(k+1)+√k} の分母・分子に{√(k+1)-√k}をかけ算して有理化すると,

極限13 問題 解答2~4行目

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となりますね。√(k+1)-√kという差の形に分解できました。√(k+1)と√kについて,それぞれ第n項までの和を具体的に書き出していくと,次のように同じ値で符号だけが異なる項が次々と現れます。

極限13 問題 解答5~8行目

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前後のカッコ内の(√2+√3+……+√n)の部分はプラスとマイナスの符号が異なるので,打ち消し合って0となりますね。残るのは,前のカッコ内の√(n+1)と,後ろのカッコ内の1なので,次のように 第n項までの和Sn が求まります。

極限13 問題 解答5~9行目

Snの極限を計算

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第n項までの和Sn がわかればあとひと息です。無限級数は,Snの極限を求めればよいですね。
Sn=√(n+1)-1
は,nが∞を目指して進むときの√(n+1)の極限が∞になるので,Snの極限も∞となります。極限の値が定数とならないときは発散と言いましたね。

答え
極限13 問題 解答すべて
無限級数の計算(2)
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