問題文の無限等比級数という言葉にきちんと反応できましたか？与えられた式は，
√2+1，1，√2-1，……
と無限に続く等比数列の和なのですね。

√2+1，1，√2-1，……
から初項は√2+1とわかります。公比は(後ろの項)÷(前の項)で求められるので，(第3項)÷(第2項)より，公比√2-1と求められました。

初項，公比がわかれば，
①第n項までの和S_nを計算
②S_nの極限を計算
の手順で無限等比級数を求めることができますね。

まずは①第n項までの和S_nを計算し， S_n=(nの式) で表すことを考えます。初項√2+1，公比√2-1を等比数列の和の公式に代入して，

と 第n項までの和S_n が求まりました。

第n項までの和S_n がわかればあとひと息です。次に，S_nの極限を求めればよいですね。nが∞を目指して進むとき， S_nはどんな値を目指すかわかりますか？ S_nのうち，nを含む項の(√2-1)ⁿに注目しましょう。-1＜(√2-1)＜1より，(√2-1)ⁿはnの値が∞に向かうと，0に収束しますね。したがって，S_nのうち，nを含まない項の(√2+1)/(2-√2)の部分が求める等比級数となります。

無限等比級数の求め方は理解できましたか？ ここで，計算が大幅に省略できる重要なポイントについても解説しましょう。一般に，初項a₁，公比rの等比数列の和S_nは，次のように求められますよね。

このS_nの極限を求めるとき，nが含まれる項はrⁿだけです。nが∞を目指すとき，もし-1＜(公比r)＜1であれば，rⁿの極限は0だということに気付けるでしょうか？ つまり， -1＜(公比r)＜1であれば，無限等比級数の極限はa₁/(1-r) と簡単な式で表されますね。

初項a₁，公比rさえわかれば，a₁/(1-r)で簡単に無限等比級数を求められます。 -1＜(公比r)＜1のときの無限等比級数の公式として覚えておきましょう。