式の目指す値が見かけ上わからない極限を不定形と言います。これまで 「∞-∞」「∞÷∞」 の不定形の解法を学習しましたね。今回学習するのは根号(ルート)を含む「∞-∞」のパターンの不定形です。例えば，次の問題を見てください。

√(n²+n)の極限が∞を目指すのに対し，-nの極限は-∞を目指します。 「∞-∞」となってしまい，どんな値を目指して進むかわからなくなってしまいます ね。

極限の不定形は，式がどんな値を目指して進むか，はっきりさせるように式変形することが必要になります。特に根号(ルート)を含む「∞-∞」の不定形では，有理化の逆演算をするのがコツです。

……といっても，「なるほど，よくわかった」とすぐに理解できる人は少ないですよね。実際に問題を解きながら，このポイントを確認しましょう。

√(n²+n)-nの極限は「∞-∞」の不定形となってしまいます。不定形を解消するために，ルートを外すことを考えましょう。

ルートを外すときには，有理化の計算を活用します。ルートの計算では，分母に√a+√bの式があったとき，分母・分子に√a-√bをかけ算し， (2乗)ー(2乗) をつくってルートを外してきましたね。これを有理化と言いました。今回は，√(n²+n)-nの式を分子と見立て，分子のルートを外すために，分母・分子に√(n²+n)+nをかけ算します。

分子はカッコ×カッコの展開計算より， {√(n²+n)}²-n²=(n²+n)-n²=n となって上手くルートが外れました。ただし，分母には√(n²+n)+nが残ってしまいましたね。

nが∞を目指して進むとき，分子も分母も∞を目指す極限の式になっています。これは 「∞÷∞」の不定形 のパターンですね！「∞÷∞」の不定形は，分母・分子をnで割ると不定形を解消できましたね。

計算式4行目から5行目に移るとき，(1/n)をルートの中に入れるとき(1/n²)になることに注意してください。(1/n)の極限は0を目指すので，次のように答えを出すことができます。

有理化は本来，分母のルートを消すための計算ですが，ここでは逆に分子のルートを消すことをしています。根号(ルート)を含む「∞-∞」のパターンの不定形は，有理化の逆演算をするのがコツと覚えておきましょう。