高校数学Ⅲ
5分で解ける!無限級数の計算(1)に関する問題
![高校数学Ⅲ](http://assets.try-it.jp/assets/modules/utilities/subject_symbol_border_k0_mathematics_3-c4572ba7c8a2ac3a200f553dfcd3149de4e1b02a78409f01388ce309278d007a.png)
- 問題
![](http://assets.try-it.jp/assets/modules/components/movie_size-f89110ba4a351d85c483bb12f73c7cf89e2ba13a9174f58b4a38599d28678843.png)
この動画の問題と解説
問題
一緒に解いてみよう
無限級数の計算(1)
解説
これでわかる!
問題の解説授業
POINT
![極限12 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/4_1_12_1/k_mat_3_4_1_12_1_image02.png)
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
ポイントの手順に従って具体的にこの問題を解いていきましょう。
第n項までの和Snを計算
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
求めたい数列an={1/n(n+2)}が無限に続くときの項の和を具体的に書き出してみると,
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
となります。このままでは,式がどんな値を目指すかわかりませんね。そこで,まずは①第n項までの和Snを計算し, Sn=(nの式) で表すことを考えます。 {1/k(k+2)}=(1/2){(1/k)-1/(k+2)} と差分解できることから,
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
と式変形しましょう。Σを1/kと1/(k+2)にバラすことができました。Σ(1/k)とΣ{1/(k+2)}を具体的に書き出していくと,次のように同じ値で符号だけが異なる項が次々と現れます。
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
前後のカッコ内の{(1/3)+(1/4)+……+(1/n)}の部分はプラスとマイナスの符号が異なるので,打ち消し合って0となりますね。残るのは,前のカッコ内の{1+(1/2)}と,後ろのカッコ内の{1/(n+1)+1/(n+2)}なので,次のように 第n項までの和Sn が求まります。
Snの極限を計算
![lecturer_avatar](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/asami.png)
第n項までの和Sn がわかればあとひと息です。無限級数は,Snの極限を求めればよいですね。
Sn=(1/2){(3/2)-1/(n+1)-1/(n+2)}
のうち,nが∞を目指して進むときの1/(n+1)と1/(n+2)の極限は0になるので,(1/2)×(3/2)だけが残ります。
答え
![極限12 問題 解答すべて](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/4_1_12_1/k_mat_3_4_1_12_1_image07.png)
![](http://assets.try-it.jp/assets/modules/utilities/logo_black-a711ae7f4c2af1410b916e7066a5e8950d6f2f3a2150e093b6dc878ad8f31d3f.png)
問題のΣの式は,数列an={1/n(n+2)}が無限に続くときの項の和を表しています。無限級数は,
①第n項までの和Snを計算
②Snの極限を計算
の手順で求めていきましょう。特にこの問題のようなan={1/n(n+a)}の数列は,次のポイントのように差分解を利用して解きます。