高校数学Ⅲ

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5分で解ける!無限級数の計算(1)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
無限級数の計算(1)

極限12 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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問題のΣの式は,数列an={1/n(n+2)}が無限に続くときの項の和を表しています。無限級数は,
①第n項までの和Snを計算
②Snの極限を計算
の手順で求めていきましょう。特にこの問題のようなan={1/n(n+a)}の数列は,次のポイントのように差分解を利用して解きます。

POINT
極限12 ポイント
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ポイントの手順に従って具体的にこの問題を解いていきましょう。

第n項までの和Snを計算

極限12 問題

lecturer_avatar

求めたい数列an={1/n(n+2)}が無限に続くときの項の和を具体的に書き出してみると,

極限12 問題 解答1行目

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となります。このままでは,式がどんな値を目指すかわかりませんね。そこで,まずは①第n項までの和Snを計算し, Sn=(nの式) で表すことを考えます。 {1/k(k+2)}=(1/2){(1/k)-1/(k+2)} と差分解できることから,

極限12 問題 解答1~6行目

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と式変形しましょう。Σを1/kと1/(k+2)にバラすことができました。Σ(1/k)とΣ{1/(k+2)}を具体的に書き出していくと,次のように同じ値で符号だけが異なる項が次々と現れます。

極限12 問題 解答5~7行目

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前後のカッコ内の{(1/3)+(1/4)+……+(1/n)}の部分はプラスとマイナスの符号が異なるので,打ち消し合って0となりますね。残るのは,前のカッコ内の{1+(1/2)}と,後ろのカッコ内の{1/(n+1)+1/(n+2)}なので,次のように 第n項までの和Sn が求まります。

極限12 問題 解答5~8行目

Snの極限を計算

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第n項までの和Sn がわかればあとひと息です。無限級数は,Snの極限を求めればよいですね。
Sn=(1/2){(3/2)-1/(n+1)-1/(n+2)}
のうち,nが∞を目指して進むときの1/(n+1)と1/(n+2)の極限は0になるので,(1/2)×(3/2)だけが残ります。

答え
極限12 問題 解答すべて
無限級数の計算(1)
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