高校数学Ⅲ

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5分で解ける!はさみうちの原理に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
はさみうちの原理

極限7 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業

sin(nπ/5)の極限がわからない!?

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(1/n)sin(nπ/5)という式の極限を求める問題です。三角関数sinが登場し,式がとても難しく見えますね。結論から言うと,この問題ははさみうちの原理を利用して解くことができます。しかし,この授業では公式をいきなり導入することはせず,1つ1つ順を追って考えていきたいと思います。

極限7 問題

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まずnが∞を目指すときの(1/n)sin(nπ/5)という式が目指す値を考えてみましょう。自然数nについて,n=1,2,3,……と具体的に代入していくと,
sin(π/5),(1/2)sin(2π/5),(1/3)sin(3π/5),……
となります。 (1/n)が0を目指すことはわかる のですが, sin(nπ/5)の極限 がまったく見えてこないですね。

sin(nπ/5)のとりうる値の範囲を考える

lecturer_avatar

ただし,手掛かりがないわけではありません。三角関数sinの重要な性質を思い出してください。sinはどんな値でもとれるわけでなく,必ず -1≦sinθ≦1 の範囲におさまりました。したがって,sin(nπ/5)についても,
-1≦sin(nπ/5)≦1
が成り立つのです。

sin(nπ/5)の不等式に(1/n)をかけると……

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ここで,
(1/n)の極限は0 ……①
-1≦sin(nπ/5)≦1 ……②
という2つの知識を上手く組み合わせて,(1/n)sin(nπ/5)の極限を考えてみましょう。

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②の式の両辺に(1/n)をかけ算すると,
-(1/n)≦(1/n)sin(nπ/5)≦(1/n)
という式ができます。nが自然数である限り,この不等式は成り立ちますね。nが∞を目指すとき,最小値の-(1/n),最大値の(1/n)がともに0を目指すことがわかります。これら極限値0にはさまれた(1/n)sin(nπ/5)の極限について考えてみると,(1/n)sin(nπ/5)の極限も0になる といえますね。解答にまとめると次のようになります。

答え
極限7 問題 解答

「はさみうちの原理」とは?

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この問題の解法のように,anの極限をはさむ最大値の極限と最小値の極限が一致することから,anの極限を求める方法をはさみうちの原理といいます。

POINT
極限7 ポイント
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はさみうちの原理は,三角関数sin,cosのように最大値,最小値があらかじめ決まっている式でよく活用するので,覚えておきましょう。

はさみうちの原理
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      極限

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