高校数学Ⅲ

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5分で解ける!対数微分法に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
対数微分法

微分法20 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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y=xxを微分する問題です。y=xxは,単純な式に見えますが,これまで学習した公式が使えないような形になっています。

(xのp乗)や指数関数の微分公式はNG

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まず,いちばんよく似た微分公式に,
(xp)'=pxp-1
があります。しかし,ここでのpは定数でした。xで微分するとき,指数の部分が変数xになっているので,(xのp乗)の微分公式は使えません。

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同様に,指数関数の微分公式
(ax)'=axloga
も適用できません。底aは定数であり,変数xになっているときは使えませんね。

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また,y=xxを合成関数として見ようとしても,外の関数と内の関数をどう設定しようか迷ってしまいますね。

両辺の対数をとって微分する「対数微分法」

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実は,y=xxを微分するときは,両辺の対数をとって微分する対数微分法が有効です。

POINT
微分法20 ポイント2
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実際に,y=xxの両辺の対数をとり,xで微分してみましょう。

微分法20 答え1~6行目まで

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(d/dx)logy=logx+1
という式が出てきましたね。

y'=dy/dxが登場するように式変形

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ただし,求めたいのはy'=dy/dxです。dy/dxが登場するように式変形すると,

微分法20 答え7~9行目まで

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y'=y(logx+1)
というシンプルな式が出てきましたね。ここで,y=xxを代入すれば,y'を求めることができます。

答え
微分法20 答え すべて

対数微分法を使うパターン

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対数微分法は,この問題のy=xxのような (変数)(変数) の微分や,因数の多い分数関数の微分で役に立ちます。解法手順をしっかり覚えておきましょう。

対数微分法
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