高校数学Ⅲ

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5分で解ける!d/dx,d/dyについて(2)に関する問題

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5分で解ける!d/dx,d/dyについて(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
d/dx,d/dyについて(2)

微分法17 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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(x2/9)+(y2/4)=1において,dy/dxの値を求める問題です。(x2/9)+(y2/4)=1は楕円を表す方程式でしたね。楕円を表す方程式において, 「yをxで微分した値dy/dx」 を求めていきましょう。

まずは両辺をxで微分!

微分法17 問題

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与えられた式が「y=f(x)」の形であれば,両辺をxで微分することにより,「dy/dx=f'(x)」で答えを出すことができます。しかし,この問題ではy2が登場し,「y=f(x)」にはなっていません。

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このようなときも,まずは「(x2/9)+(y2/4)=1」の両辺をxで微分してみましょう。すると,

微分法17 問題 答え1~2行目まで

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つまり,
(2x/9)+(d/dx)(y2/4)=0
となり,手掛かりが見えてきます。

dy/dxを分数と同じように扱う

lecturer_avatar

求めたいのは,dy/dxの値でしたね。そこで,
(2x/9)+(d/dx)(y2/4)=0
の式において,y2をyで微分し,強引にdy/dxをつくる補正計算をします。

微分法17 問題 答え1~3行目

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上式では,d/dyによってy2をyで微分するとともに,dy/dxによってyをxで微分して補正計算を行っています。このとき,微分の記号を分数式のように見立てると,
(d/dy)×(dy/dx)
となり,ちょうどdyが約分で消えて,もとの(d/dx)が残ることがわかりますね。dy/dxは,このように分数と同じように扱うことができるのです。

dy/dxの値を求めよう

lecturer_avatar

式に(dy/dx)をつくることができたら,あとは次のように計算を進めれば,答えが出てきます。

答え
微分法17 問題 答え
lecturer_avatar

今回の問題のように,楕円など2次曲線の方程式を微分するパターンはこの先もよく出てきます。両辺をxで微分し,dy/dxを作り出す変形手順をしっかりおさえておきましょう。

POINT
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d/dx,d/dyについて(2)
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