高校数学Ⅲ

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5分で解ける!媒介変数表示の関数の微分(2)に関する問題

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5分で解ける!媒介変数表示の関数の微分(2)に関する問題

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この動画の問題と解説

問題

一緒に解いてみよう
媒介変数表示の関数の微分(2)

微分法19 問題

解説

これでわかる!
問題の解説授業
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媒介変数tによって,
x=(1+cost)cost,y=(1+cost)sint
と表される関数について,dy/dxを求めます。媒介変数で表された関数の微分は,x,yをそれぞれtで微分した式を利用して,次のように求めることができますね。

POINT
微分法19 ポイント
lecturer_avatar

つまり,dy/dxは,(yをtで微分した式)/(xをtで微分した式)で求められるのです。

x,yをtで微分する!

微分法19 問題1

lecturer_avatar

まずは,
x=(1+cost)cost,y=(1+cost)sint
をそれぞれtで微分しましょう。積の微分公式より,
dx/dt=(1+cost)'cost+(1+cost)(cost)'
     =-sintcost-sint-sintcost
     =-sint-2sintcost
dy/dt=(1+cost)'sint+(1+cost)(sint)'
     =-sin2t+cost+cos2t
     =cost+cos2t-sin2t
となりますね。

dy/dxは「(yをtで微分した式)/(xをtで微分した式)」

lecturer_avatar

dy/dxは,(yをtで微分した式)/(xをtで微分した式) で求められますね。したがって,
dy/dx=(cost+cos2t-sin2t)/(-sint-2sintcost)=-{(cost+cos2t)/(sint+sin2t)}
と答えが求まります。

答え
微分法19 問題1 答え
媒介変数表示の関数の微分(2)
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