高校数学Ⅲ

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5分でわかる!媒介変数表示の関数の微分(1)

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この動画の要点まとめ

ポイント

媒介変数表示の関数の微分(1)

微分法18 ポイント

これでわかる!
ポイントの解説授業
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x=cost,y=sintにおける文字tのように,x,yの関係を間接的に表す変数のことを媒介変数と呼びます。今回は,媒介変数で表された関数の微分について解説していきましょう。

dy/dx を求めるには?

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x,yの関係が,媒介変数tによって,
x=f(t),y=g(t)
で表されているとします。例えば,x=cost,y=sintのような形ですね。このとき,yをxで微分した(dy/dx)の求め方について考えてみましょう。

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(dy/dx)は,yをxで微分した値です。x=f(t),y=g(t)をもとに,x,yの関係式をつくって微分する方法もありますが,面倒な計算になりがちです。ここでは,媒介変数で表された関数の微分として,次の手順を覚えてしまいましょう。

POINT
微分法18 ポイント
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このポイントについて詳しく解説します。

x,yをtで微分する

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媒介変数で表された関数の微分では,まずx,yをtで微分します。つまり,
x=f(t),y=g(t)
の両辺をtで微分するので,
dx/dt=f'(t),dy/dt=g'(t)
となりますね。

分数式のように計算すると……

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求めたいのは,dy/dxでしたね。 dx/dt=f'(t),dy/dt=g'(t) を利用して,分数式のように計算すると,次の式が導けます。

微分法18 ポイント 3行目のみ

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つまり,dy/dxの値は,g'(t)/f'(t)と等しくなるのです。媒介変数で表された関数の微分として覚えてしまいましょう。

POINT
微分法18 ポイント
Asami

この授業の先生

浅見 尚 先生

センター試験数学から難関大理系数学まで幅広い著書もあり、現在は私立高等学校でも 受験数学を指導しており、大学受験数学のスペシャリストです。

媒介変数表示の関数の微分(1)
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