高校数学Ⅲ
5分でわかる!対数関数log_e xの微分公式
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この動画の要点まとめ
ポイント
対数関数log_e_xの微分公式
これでわかる!
ポイントの解説授業
logとは?
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対数を表す記号logについては,数学Ⅱの第5章「指数関数・対数関数」の授業で学習しました。logがどんな記号だったかを簡単に振り返っておきましょう。
復習
![高校数学Ⅱ 指数関数・対数関数10 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/5_2_8_1/k_mat_2_5_2_10_1_image01.png)
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実数pに対しapはap=qとします(a≠1,a>0)。この時ap=qの関係を,logを使ってlogaq=pと表せます。つまり,logaq=pはaをp乗するとqになることを表す記号です。logaqの式において,aのことを底と呼び,qのことを真数と呼びます。
数学Ⅲ以降は,logの底がeになる
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数学Ⅱの学習では,logaqの底aは,2や3,10などがよく使われましたね。数学Ⅲでは,logの底はeとすることが多くなります。logexは,底をeとする自然対数といい,logexのeを省略してlogxと表します。
POINT
![微分法8 ポイント 小見出し不要 1~3行目](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/5_2_8_1/k_mat_3_5_2_8_1_image02.png)
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今後は,logの右下に何も書かれていない場合,「eが省略されている」と考えるようにしましょう。
logxを微分すると……
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y=logxを定義に従って微分すると,計算量が膨大になってしまうので,ここでは詳しく解説しません。重要なのは,logxを微分したときの計算結果です。真数は正である必要があるので,2つに場合分けして覚えましょう。①x>0のときのlogxを微分した結果と,②負の数を含むx≠0のときのlog|x|を微分した結果は次のようになります。
POINT
![微分法8 ポイント 1~3行目のぞく](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_3/5_2_8_1/k_mat_3_5_2_8_1_image03.png)
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ようするに,logxやlog|x|を微分すると,1/xになるということですね。この微分公式はしっかり覚えましょう。
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今回は,対数関数logexの微分公式について解説します。対数関数は,aを定数としてy=logaxで表される関数ですね。この対数関数の中でも,特に底のaがeの場合の微分公式について学習していきましょう。