高校数学Ⅱ

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5分で解ける!定積分と面積の関係に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分法23 練習 図なし

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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座標平面上の面積を求める問題です。定積分を利用すると、関数f(x)のグラフやx軸で囲まれる面積を求めることができましたね。

POINT
高校数学Ⅱ 微分法と積分法23 ポイント

求める面積Sをイメージしよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分法23 練習 図なし

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求める面積Sがどのようになるのか、グラフをかいて確認しましょう。放物線y=x2+2と、2直線x=-1,x=2及びx軸で囲まれる図形の面積Sは下図になりますね。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法23 練習 答えの図
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この面積Sは、四角形や台形のように図形的に求めることはできませんよね。そこで、定積分の面積計算の出番になるのです。

「動く線分の長さ」と「スタート・ゴールの位置」

高校数学Ⅱ 微分法と積分法23 練習 答えの図
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定積分の面積計算で必要になる情報は、 ①動く線分の長さ ②スタートの位置 ③ゴールの位置

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①動く線分の長さ は、y=x2+2のグラフのy座標です。したがって 長さx2+2 となります。 長さx2+2の線分が動いていき、面積Sをつくる わけです。また、図から ②スタートの位置x=-1③ゴールの位置x=2 とわかりますね。

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この3つの情報をもとに、面積Sを求める定積分の式を作りましょう。 長さx2+2の線分 を、 スタート地点(x=-1)からゴール地点(x=2)まで動かしたときの面積 となるので、次のように立式できます。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法23 練習 答えの1行目
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後はこの計算を進めるだけで、面積Sは求まります。

答え
高校数学Ⅱ 微分法と積分法23 練習 答え
定積分と面積の関係
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