∫（インテグラル）が入った関数f(x)の式を求める問題です。xが2次式になってもポイントは変わりません。式の後半にある ∫の部分が定数である ことが重要でしたね。

式の後半の∫の部分に注目しましょう。積分区間は0から1で、 ∫の部分は定数 になります。したがって、 ∫の部分を定数k と表して、計算を進めていきましょう。

f(x)=x²+2kと表すことにより、∫₀¹f(t)dtを具体的に計算していくことができるわけです。

f(t)=t²+2kより、∫₀¹(t²+2k)dtを計算しましょう。

∫₀¹f(t)dt=1/3+2k とわかりました。では、この未知数kの値はどのように求めていけばよいでしょうか？ よく思い出してください。この問題では、 ∫₀¹f(t)dtを定数k と表していましたよね。
1/3+2k=k
と kの方程式ができる わけです。

したがって、k=－1/3とわかります。求めるf(x)の式は、f(x)=x²-2/3となりますね。