f'(x)=3(x-1)²かつf(1)=0を満たす関数f(x)を求める問題です。「あれ？急に難しくなった…」と思っていませんか。

問題の意味をよく考えましょう。 微分したらf'(x)になる関数 は f(x) です。つまり
∫f'(x)dxを計算すれば、 微分したらf'(x)になる関数 を求めることができますね。

∫f'(x)dx=f(x)です。f'(x)を積分していきましょう。

∫f'(x)dx=∫3(x-1)²dx
カッコの2乗の形は、そのままでは積分できません。
展開してから積分します。

答えはここで終わりではありません。積分定数Cの値も求めることができます。

f(1)=0 という条件がありましたね。
x=1をf(x)=x³-3x²+3x+Cに代入して
f(1)=1+C=0
⇔ C=-1
と求まります。