図形の面積を求める問題ですね。どのように囲まれる図形かを調べて、 「上の曲線－下の曲線」の積分 で求めていきましょう。

まず求める面積Sがどのようになるのかをグラフをかいて確認しましょう。
放物線y=x²とy=-x²+2の交点を求めていきます。
積分区間はx=0からx=2 までです。
この区間における放物線y=x²とy=-x²+2の交点は、
x²=-x²+2
⇔ x²=1より、
x=1 とすぐにわかりますね。

交点のy座標を求める必要はありませんね。

次に面積を求めていきましょう。今回は、「上の曲線」と「下の曲線」が入れ替わっているパターンです。ポイントは次の通りでした。

今回の問題では、面積は x=1 の左右で別に考える必要があります。
x=1の左側 では 上側の曲線がy=-x²+2 、 下側の曲線がy=x² です。 x=1の右側 ではそれが逆転し、 上側の曲線がy=x² 、 下側の曲線がy=-x²+2 です。それぞれ 「上の曲線」－「下の曲線」で積分 すると、次のような式になりますね。

後はこの計算を進めれば、面積Sは求まります。