高校数学Ⅱ

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5分で解ける!定積分と面積(3)に関する問題

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5分で解ける!定積分と面積(3)に関する問題

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この動画の問題と解説

練習

一緒に解いてみよう

高校数学Ⅱ 微分法と積分法26 練習

解説

これでわかる!
練習の解説授業
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図形の面積を求める問題ですね。どのように囲まれる図形かを調べて、 「上の曲線-下の曲線」の積分 で求めていきましょう。

グラフのラフ図をかこう

高校数学Ⅱ 微分法と積分法26 練習

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まず求める面積Sがどのようになるのかをグラフをかいて確認しましょう。
放物線y=x2とy=-x2+2の交点を求めていきます。
積分区間はx=0からx=2 までです。
この区間における放物線y=x2とy=-x2+2の交点は、
x2=-x2+2
⇔ x2=1より、
x=1 とすぐにわかりますね。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法26 練習 答えの図のみ
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交点のy座標を求める必要はありませんね。

「上の曲線」と「下の曲線」が入れ替わるのは?

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次に面積を求めていきましょう。今回は、「上の曲線」と「下の曲線」が入れ替わっているパターンです。ポイントは次の通りでした。

POINT
高校数学Ⅱ 微分法と積分法26 ポイント
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今回の問題では、面積は x=1 の左右で別に考える必要があります。
x=1の左側 では 上側の曲線がy=-x2+2下側の曲線がy=x2 です。 x=1の右側 ではそれが逆転し、 上側の曲線がy=x2下側の曲線がy=-x2+2 です。それぞれ 「上の曲線」-「下の曲線」で積分 すると、次のような式になりますね。

高校数学Ⅱ 微分法と積分法26 練習 答え1行目
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後はこの計算を進めれば、面積Sは求まります。

答え
高校数学Ⅱ 微分法と積分法26 練習 答え
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定積分と面積(3)
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