高校数学Ⅱ
5分で解ける!不定積分 ∫f(x)dxに関する問題
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POINT
![高校数学Ⅱ 微分法と積分法18 ポイント](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_2/6_3_18_3/k_mat_2_6_3_18_1_image01.png)
xnは「xn+1の微分」で現れる
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まずは、∫xndx(nは自然数)の意味を考えましょう。 微分したらxnになる関数を探せ と言う意味ですね。
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では、xnがどうしたら現れるかを考えましょう。
文字のnだと少し戸惑うかもしれませんが、xやx2の積分と解き方は同じです。 1つ大きい次数 を考えればいいのです。
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xnはxn+1を微分したら現れますね。
(xn+1)'= (n+1)xn
しかし、 (n+1)xn となりxnにはなりません。どのようにして、この「係数のn+1」を消したらよいでしょうか?
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係数が邪魔な場合は、なくなるように帳尻合わせをしましょう。
あらかじめ、 xn+1に係数(1/n+1) をつけておくのです。
{(1/n+1)xn+1}' = xn
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よって、∫xndx= (1/n+1)xn+1+C(Cは定数) と求まりますね!このとき、「(1/n+1)xn+1+C」を微分すると、「xn」にちゃんと戻ることがわかります。
答え
![高校数学Ⅱ 微分法と積分法18 練習 答え](https://d12rf6ppj1532r.cloudfront.net/images/k/0/mat_2/6_3_18_3/k_mat_2_6_3_18_3_image02.png)
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xnを積分する問題ですね。∫f(x)dxは、 微分するとf(x)になる関数 を表す記号だということをおさえて解きましょう。